2.2 直线与圆的位置关系（难点）（解析版）.docx

2.2直线与圆的位置关系（难点）

一、单选题

1．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算.

以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，

设，因为，所以，得，

所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.

故选：A

2．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.

圆：化为标准方程：，其圆心,半径.

过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：

在△PAC中,有，即，变形可得：.

设，则.

所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.

而的最小值为点C到直线的距离，即，

所以.

故选：B

3．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（???????）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值．

解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，

由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝

在直角中，，由得，

∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；

|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．

故选：A．

4．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．

设，

，

，即．

点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．

若直线上存在点Q使得，

则PQ为圆的切线时最大，如图，

，即．

圆心到直线的距离，

或．

故选：B．

5．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出直线和的定点，即可推出点的轨迹方程，将原问题转化为两圆之间的位置关系，即可求解．

解：直线整理可得，，即直线恒过，

同理可得，直线恒过，

又，

直线和互相垂直，

两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，

圆心距，

两圆相离，

，

的取值范围是．

故选：B．

6．设圆与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是（???????）

A．若，则点B的坐标为 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

对于A，通过计算可知，A不正确；对于B，当与圆相切时，取得最大值为，可判断B正确；对于C，当与重合时，可判断C不正确；对于D，根据，可判断D不正确.

对于A，若，则点B的坐标为或，故A不正确；

对于B，若，则，当与圆相切时，取得最大值为，所以，故B正确；

对于C，若，当与重合时，，故C不正确；

对于D，若，因为，所以，所以，所以，故D不正确.

故选：B

7．已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点.圆过三点.下列说法正确的是（???????）

①圆心在直线上；②的取值范围是；

③圆半径的最小值为；④存在定点，使得圆恒过点.

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆的性质得圆心横坐标为1判断①，根据二次函数与轴有两个交点可得的取值范围判断②,假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围判断③，再根据圆的方程的判断是否过定点判断④.

二次函数的对称轴为，

因为对称轴为线段的中垂线，

所以圆心在直线上，故①正确；

因为二次函数与轴有两点不同交点，

所以，即，故②错误；

不妨设在的左边，则，

设圆方程为，则，

解得，

因为，所以即，故③错误；

由上得圆方程为，

即，恒过点，故④正确.

故选D.

8．已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（???????）

①点到直线的距离小于

②点到直线的距离大于

③当最小时，

④当最大时，

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】

【分析】

计算出点到直线