3.2.2 双曲线的几何性质（重点）（解析版）.docx

3.2.2双曲线的几何性质（重点）

一、单选题

1．若双曲线C两条渐近线方程是y=±x，则双曲线C的离心率是（

A．2 B．3 C．2 D．5

【答案】A

【分析】由渐近线方程求ba，再求双曲线的离心率

【解析】由渐近线方程可知ba=1，则

故选：A.

2．已知双曲线C:y2a2-x

A．57 B．75 C．-2

【答案】D

【分析】由双曲线的性质求解

【解析】双曲线C:y2

而双曲线C的离心率为75，所以ca=75

故选：D

3．已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1

A．2 B．2 C．3 D．3

【答案】A

【分析】利用题给条件得到关于c、a的关系式，即可求得双曲线

【解析】由△BA

即b2=3a2

则双曲线C的离心率e

故选：A

4．已知F1，F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1（a0,b0）的左、右焦点，A，B是

A．173 B．2 C．5 D．

【答案】A

【分析】由以F1F2为直径的圆经过点B得

【解析】由题意得∠F1BF2=90°，设BF2=

在Rt△ABF1中，由勾股定理得

则BF2=

在Rt△F1BF

所以C的离心率e=

故选：A.

5．已知双曲线C:x2a2-y2=1a0与直线y=kx交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA

A．a

B．双曲线C的渐近线方程为y

C．若PF1⊥P

D．曲线C的离心率为10

【答案】D

【分析】设Ax1,y1,

【解析】由y=kxx

设Ax1,y1

∴B-x1

则x12a2-y1

又kPA=y

所以kPA

∴a2=9，即a=3

所以双曲线C:x2

双曲线C的渐近线方程为y=±13x，离心率为103

若PF1⊥

所以PF1PF2=2，△

故选：D.

6．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,

A．22 B．11 C．222 D．

【答案】C

【分析】联立双曲线与圆的方程，求出点M的坐标，再结合给定条件及正弦定理列式计算作答.

【解析】令双曲线的半焦距为c，则F1(-c

依题意，x02+y0

在△F1MF2

则有(c+2

整理得(a+2b)2=4

所以双曲线的离心率e=

故选：C

7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图

A．5 B．103 C．52 D

【答案】D

【分析】设|AF2|=m，|BF2|=

【解析】解：设|AF2

由双曲线的定义可得|AF1

由cos∠BAC=-

在直角三角形AF1B中，

(2a+

在△AF1

由①②可得n=2a

代入③可得4c

即为9c

则e=

故选：D．

8．点F1，F2是曲线C：x23-y2=1的左右焦点，过F1作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线GF2与x轴垂直且点G

A．115π3 B．76π3 C．

【答案】B

【分析】讨论AB,CD斜率，斜率存在时设AB:x=ky-2、CD:x=-yk-2联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，

【解析】当直线AB,CD斜率均存在时，令AB:x=

联立AB与曲线C并整理得：(k

且Δ=16k2

所以xA+x

联立CD与曲线C并整理得：(1-3

同理，yC+yD=

直线MN:2kx+3(1-k2

当直线AB,CD中一条的斜率不存在时，令AB:

所以M(-2,0)，N(0,0)，故MN:

而G(2,±33)，要使以

若圆的半径为r，只需r2≥|GP

故选：B

【点睛】关键点点睛：讨论直线AB,CD斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定MN的方程，得到MN过定点P(-3,0)，根据恒有公共点有圆半径为r，只需保证

二、多选题

9．（多选）已知双曲线x2m-

A．离心率的最小值为4

B．当m=1

C．离心率最小时双曲线的标准方程为x

D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为3

【答案】CD

【分析】由双曲线的方程可得a，b的值，进而求出c的值，再求双曲线的离心率，由均值不等式可得离心率的最小值及此时m的值，判断四个选项的正确与否

【解析】由题意可得e2

因为m0，所以e2=

当且仅当m=4m

此时双曲线方程是x22-

故选：CD

10．已知双曲线M:x2a2-y

A．M的离心率为233 B．M

C．M的渐近线方程为y=±33x D．直线

【答案】ACD

【分析】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为3或33两种情况，根据a

【解析】根据题意双曲线M:x2a2-y2b2=1(ab0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，

则过一三象限的渐近线的斜率为3或33，即ba=3或

联立①②可得：a2=1