3.3（附加1）圆锥曲线的弦长与中点弦问题（解析版）.docx

3.3（附加1）圆锥曲线的弦长与中点弦问题

一、单选题

1．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（????）

A．1 B．3 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由题意可得直线与的方程为，代入抛物线方程得，根据韦达定理与焦半径的公式即可求出的值.

【解析】解：由题意可知，所以直线与的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，可得，

设

则，

所以.

故选：D.

2．一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（????）

A．3 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】已知直线与椭圆的一个交点为，可求得其与原点的距离，根据对称性可知，直线被椭圆截得的弦长为两交点分别与原点的距离之和，从而得出答案.

【解析】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为，

则根据对称性可知两点关于原点对称，即，

而

直线被椭圆截得的弦长为,所以.

故选：B.

3．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】中点弦问题利用点差法处理.

【解析】法一：设，则，

所以，又AB的中点为，

所以，所以，由题意知，

所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.

故选：C.

法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，

代入并整理得，

因为为线段AB的中点，所以，整理得，

所以C的离心率.故A，B，D错误.

故选：C.

4．已知双曲线的左?右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程

【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以，则双曲线方程为，，，

所以直线为，

设，

由，得，

则，

所以，

因为，，

所以，

因为的周长为36，

所以，

所以，得，

所以双曲线方程为，

故选：C

5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（????）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据焦半径公式可得，结合点斜式与两直线垂直的关系可得，进而联立求解可得.

【解析】设，，．①

中垂线方程为，令有，解得．②

由①②解得．

故选：D

6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（????）

A．19 B．25 C．37 D．85

【答案】B

【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.

【解析】由题意，双曲线焦点坐标为，

设，且，则，

当且仅当即时等号成立，

所以最小值为25，

故选：B.

7．已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交于，两点，作，，垂足分别为，，若，，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，则（????）

A． B． C．5 D．

【答案】C

【分析】画图，设，，其中，，直线：，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合，，可得，，，进而得到以，为直径的圆都与轴相切，进而求得即可

【解析】如图所示，由抛物线方程得：，，由对称性不妨设，，其中，，直线：，则，，由，得，所以，因为，，所以，解得，，，所以，，即，，又，所以的中点坐标为，其到轴的距离为5，又，所以以为直径的圆与轴相切.同理，以为直径的圆也与轴相切.因为直线分别与以，为直径的圆切于，两点，所以.

故选：C

8．已知直线与抛物线相交于、两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论错误的是（???）

A． B．

C．的面积为 D．

【答案】C

【分析】求出抛物线的准线方程，可求得的值，可判断A选项的正误；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得的值，可判断B选项的正误；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断CD选项的正误.

【解析】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；

因为，所以抛物线的方程为，其焦点为，

又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点、，因为、两点在抛物线上，

联立方程，两式相碱可得，，

设的中点为，则，

因为点在直线上，解得，

所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径.

因为，所以，

解得，故选项B正确；

因为，所以，直线为，即，

由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，

所以，故选项C错误，D正确.

故选：C.

9．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线