第03讲 充分条件与必要条件（解析版）-2022年高一数学（人教版2019必修第一册）.docx

第03讲充分条件与必要条件

【学习目标】

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系

2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系

3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系

【基础知识】

一、“?”及“?”的含义

“?”是推断符号,p?q即如果p成立,那么q一定成立,

“?”表示“等价”,如“p?q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q推出p”.

二、充分条件与必要条件

1.如果p?q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；

2.如果p?q,但q?p,则p是q的充分不必要条件；

3.如果p?q,且q?p,则p是q的充要条件；

4.如果q?p,且p?q,则p是q的必要不充分条件；

5.如果p?q,且q?p,则p是q的既不充分也不必要条件．

6.充分条件与必要条件的理解

充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.

必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”

7.从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

(1)若A?B,则p是q的充分条件；

(2)若A?B,则p是q的必要条件；

(3)若A＝B,则p是q的充要条件；

(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件．

三、判断充分条件、必要条件的注意点

1.明确条件与结论.

2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.

3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.

四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：

1.p是q的充分条件；

2.p的充分条件是q.

五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

2.要注意区间端点值的检验．

六、充要条件的证明策略

1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.

2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

【基础知识】

考点一：充分条件与必要条件的判断

例1．（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.

故选B.

考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断

例2．（多选）（2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末）下列四个命题中为真命题的是（???????）

A．“”是“”的既不充分也不必要条件

B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件

C．关于的方程有实数根的充要条件是

D．若集合，则是的充分不必要条件

【答案】AC

【解析】且，所以A正确；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；

当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC.

考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围

例3．（2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】由已知可得，所以，.

考点四：充分条件与必要条件的推理

例4．（2021-2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（???????）

A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件

C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件

【答案】BD

【解析】由题意得，，，，，，所以，，，

所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD.

【真题演