专题 2-7 函数与方程【8类题型】（解析版）- 2025年高考数学题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） .docxVIP

热点专题2-7函数与方程

近5年考情（2020-2024）

考题统计

考点分析

考点要求

2024年天津卷第15题，5分

从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活

（1）理解函数的零点与方程的解的联系.

（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.

（3）了解用二分法求方程的近似解．

2024年全国甲卷，第16题,5分

2023年天津卷第15题，5分

2021年北京卷第15题，5分

模块一

模块一

总览

热点题型解读（目录）

TOC\o1-3\n\h\z\u【题型1】求函数的零点

【题型2】求函数零点所在区间

【题型3】二分法求近似解

【题型4】判断函数零点个数或交点个数

【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围

【题型6】已知零点个数求参数范围

【题型7】比较零点的大小

【题型8】求零点的和

模块二

模块二

核心题型·举一反三

【题型1】求函数的零点

函数的零点

1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．

【要点辨析】

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；

（3）函数的零点就是方程的实数根．

2、函数的零点与方程的解的关系

函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点存在定理

如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．

函数的零点为（????）

A． B． C．0 D．1

【答案】C

【解析】令，解得，故选:C.

【巩固练习1】函数的零点为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【解析】令，得，则．故选：A

【巩固练习2】

【巩固练习3】已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（????）

A． B． C．9 D．27

【答案】A

【解析】设，即，

因为，可得，

所以，解得，所以，

令，可得，即，解得.故选：A.

【题型2】求函数零点所在区间

判断函数零点所在区间的步骤

第一步：将区间端点代入函数求函数的值；

第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；

第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；

若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

函数的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数，

又，，，

所以函数的零点所在区间为.故选：C.

【巩固练习1】函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为的定义域为，且在内单调递增，

可知在内单调递增，

且，

所以函数的唯一一个零点所在的区间是.

【巩固练习2】函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为的定义域为，且在内单调递增，

可知在内单调递增，

且，

所以函数的唯一一个零点所在的区间是.

【题型3】二分法求近似解

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

，

所以函数在区间上有唯一零点，

所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.

【巩固练习1】一块电路板的线段之间有个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）

A．次 B．次

C．次 D．次

【答案】B

【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要次检测，则，

即，因为，故的最小值为，即至少需要检测次.

【巩固练习2】已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为．

【答案】

【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.

【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点，

又由，则，

第一次用二分法，由，

因为，可得，即，可得，所以，

所以确定函数的零点所在区间为；

第二次用二分法，由，

因为，可得，即

所以，所以确定函数的零点所在区间为，

所以第二