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·第一讲研究含参函数的单调性

（讲研究含参函数的单调性

函数的单调性是函数的重要性质之一，对深入研究函数的图像、比较函数值大小、解不

等式、求极值、最值（取值范围）、判断函数零点个数、证明不等式起着至关重要的作用，因此，

函数单调性的考查是高考的重点和热点.而导数是求解函数单调性的一把利器，利用它可以

将确定原函数单调性的问题转化为判断导函数的符号问题.

一求函数单调性的解题步骤

第一步：确定函数的定义域；

第二步:求导函数f（x）;

第三步：以导函数的零点存在性进行分类讨论；

第五步：画出导函数的草图，从而判断其导函数的符号；

第六步：根据第五步的草图列出f（x），f(x)随x变化的情况表，并写出函数的单调

区间；

第七步：综上其讨论的情形，完整写出函数的单调区间.

二“主导”函数

通常我们把决定导函数符号的函数构造为新函数，称其为“主导”函数，一般用h（x)

表示.

(1)能判断“主导”函数的符号，得出原函数的单调性，具体分为：

（“主导”函数为一次函数型:h（x）=kp（x)十b

（“主导函数为二次函数型:h（x）=αx+bx十c

（2)不能判断“主导”函数的符号，就需要二次求导或多次求导来判断“主导”函数的正负

号，进而得出原函数的单调性.

全国卷满分秘籍·导数篇

类型一“主导”函数为一次函数型

本类型函数通过“一次求导”就可解决原函数的单调性

()中（)十）=()

分析对于含参函数单调性的求解，难点是如何对参数进行分类讨论和利用数形结合

来判断导函数的正负.

a+1_ax-1(

解析）由已知得函数f（x)的定义域为（一1，十∞），且f（x）=αx+1x+1(a≥

-1).

设h(x)=ax-l(a≥-1).

①当α=0时,h(x）=一10,f（x)0,函数f(x)在区间（一1,十∞o）上单调递减;

②当一1≤a0时,h（x）=ax一10，f（x)0,函数f(x)在区间（一1，+∞o）上单调

递减；

③当a0时，令h(x)=ax-1=0,x=D

当α变化时,f(α)和f(x)变化的情况如下表所示.

1

(-÷)a,（+∞)

h(x)0十

f(x)0+

f(x)极小值

故f(x)的单调递减区间为(-1,),单调递增区间为(，+∞).

综上所述，当一1≤a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为（一1,十∞）,无单调递增区间；

当α0时,f(x)的单调递减区间为(-1,),单调递增区间为(,十∞).

评注

“主导”函数为一次函数型，对参数进行分类讨论的重点为：

(1)最高项系数是否为零及此项系数的正负；

{k·o(x)与b同号,h(x)恒正或恒负(例1.1解析中②)

(2)“主导”函数根的判定

(k·(x)与b异号,h(x)=0,求根(例1.1解析中③)

(3)分类讨论过程中级别的先后顺序.

变式1已知函数f(x)=ax一lnx，g(x)=e“+3