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导数与积分专题

知识清单

一，导数篇

1.导数的有关概念

(1)定义：函数的导数，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。

(2)几何意义：函数在点x0处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。

2.求导的方法：

(1)常用的导数公式：

；;;;

;.

(2)两个函数的四那么运算的导数:

(3)复合函数的导数：〔很重要，必须理解清楚〕

3.导数的运用：

(1)判断函数的单调性。(2)极大值和极小值。

二、积分篇

1.根本的积分公式：

＝C；＝＋C〔m∈Q，m≠－1〕；

dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；

＝sinx＋C；＝－cosx＋C〔表中C均为常数〕。

〔2〕定积分的性质

①〔k为常数〕；②；

③〔其中a＜c＜b。

〔3〕定积分求曲边梯形面积

回忆练习：

1．求以下函数导数

〔1〕〔2〕y=

2．假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔〕

A．B．C．D．

3．在区间上的最大值是〔〕

(A)－2(B)0(C)2(D)4

4．设函数f(x)=

〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；

〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。

5．计算以下定积分的值

〔3〕；〔4〕；

典型例题

一导数的概念与运算

例1：如果质点A按规律s=2t3运动，那么在t=3s时的瞬时速度为〔〕

A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s

变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，那么称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

假设质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

例2：的值是〔〕

A.B.2C.D.－2

变式1：〔〕

A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．

变式2： 〔〕

A． B． C． D．

例3：函数的图像如下图，以下数值排序正确的选项是〔〕

A.y

B.

C.

D.O1234x

例4：求所给函数的导数：

。

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是

A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞,－3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0,3)

例5：函数.(1)求这个函数的导数；〔2〕求这个函数在点处的切线的方程.

变式1：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，那么a＝()

A.B.C.D.1

例6：函数的一个单调递增区间是

A.B.C.D.

变式1：函数

(1)假设函数的单调递减区间是〔-3，1〕，那么的是.

(2)假设函数在上是单调增函数，那么的取值范围是.

例7：求函数的极值.

求函数在上的最大值与最小值..

变式1：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔〕

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

变式2：假设函数，当时，函数极值，

〔1〕求函数的解析式；

〔2〕假设函数有3个解，求实数的取值范围．

例8：函数假设恒成立,求实数的取值范围

变式1:设函数假设恒成立，求实数的取值范围.

例9：计算以下定积分：〔理科定积分、微积分〕

变式1：计算：；

〔1〕；〔2〕

高考真题

1、(2011全国新课标)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为

A、B、4C、D、6

2、〔2011全国新课标理、本小题总分值12分〕

设函数。

假设，求的单调区间；

〔2〕假设当时，求的取值范