十三章函数列与函数项级数省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性一．函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列(１)在点设(1)是一列定义在数集E上函数,称定义在E上函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在第1页

或第2页

总有例１证实它收敛证:(3)第3页

它显然是发散,所以函数列例2设证实它收敛域为极限函数为=0。证：因为对任何实数都有故，对任意给定，就有第4页

定义1所以数列收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不但要讨论它在哪些点上收敛，而更主要是要研究极限函数所含有解析性质。比如能否由函数列每项连续性，判断出极限函数连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。第5页

一致收敛于f几何意义:不一致收敛于f几何意义:函数列在D上不一致收敛定义：第6页

定理13.1(函数列一致收敛柯西准则)(4)第7页

证:[必要性][充分性]一点都收敛，记其极限函数为(5)第8页

定理13.2证:[必要性]由上确界定义有由此证得（6）式成立。[充分性]有由（7）式得（6）（7）第9页

例3证实证：于是，但因为所以，该函数列在上不一致收敛。第10页

二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在Ｅ上函数项级数，为函数项级数部分和函数列。级数和函数：即若收敛，则称为收敛点。若发散，则称为收发散点。也就是说函数项级数收敛性就是指它部分和数列收敛性。第11页

当当定理13.3（一致收敛柯西准则）或推论：定义2?.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4第12页

定理13.4由此可知我们来看例4中级数若仅在[-a，a]（a1）上讨论，由可知级数在[-a，a]上一致收敛。若在（-1，1）上讨论这个级数，则由（）（）在（-1，1）内不一致收敛。第13页

又对一切依据函数项级数一致收敛柯西准则，一致收敛。三.函数项级数一致收敛性判别法定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）证：第14页

例5证实函数项级数在上一致收敛。在证：因为对一切有而正项级数是收敛，所以函数项级数上也收敛。定理13.6（阿贝耳判别法）设在区间I上一致敛；是单调；（2）对每一个（1）（3）第15页

则级数在区间Ｉ上一致收敛。证：由（1），使得当时，对任意正整数p及有又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章§3引理推论）得到由此柯西准则定理得证。定理13.7（狄利克雷判别法）设第16页

（1）部分和数列在I一致有界；（2）对每个是单调；（3）在I上一致收敛于零。则级数在区间I上一致收敛。证：由（1），，对一切。所以当n，p为任意正整数时，对任何一个由（2）及阿贝尔引理，得到再由（3），对任给，存在正整数N，当nN时，对一切有第17页

所以于是由一致收敛性柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例6函数项级数在[0，1]上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例7若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。证：因为在上有第18页