线性代数（第5版)课件：向量组的秩.ppt

机动目录上页下页返回结束线性代数复习向量组的极大无关组等价向量组向量组的秩典型例题2.任一n维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合:1.是的线性组合(可由线性表示)有解(组合系数就是方程组的一个解)3.可表示为的线性组合复习有非零解(无)(只有零解)rn(r=n)5.线性相关线性相关不全为0，4.线性无关仅当k1=k2=…=ks=0时成立.重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.可否由线性表示——竖排行变换，放末列.是否线性相关——竖排行变换.(线性无关)(任一向量都不能由其余向量线性表示)定理3.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关定理4.短无关，则长无关；长相关，则短相关.定理6.线性无关，线性相关可由唯一线性表示.定理1.n个n维向量线性相关(线性无关)(不为0)定理2.向量个数向量维数，其排成的行列式值为0向量组线性相关.其中至少有一个向量是其余向量的线性组合定理5.向量组线性相关线性无关向量组的部分组线性无关,一、向量组的极大线性无关组1.定义若向量组的部分组满足:(1)线性无关;则称为向量组的一个极大线性无关部分组,简称极大无关组.(2)从向量组中任意另取一个向量(若还有),添到中,所得新部分组都线性相关.线性相关向量组的部分组未必线性相关：一个向量非零即无关,两个向量对应分量不成比例则无关，三个向量……，逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念——向量组的极大线性无关组由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任意一个向量都可以由线性表示.(2)线性无关向量组的极大无关组就是该向量组.(1)向量组有极大无关组当且仅当向量组含有非零向量.为Rn的一个极大无关组.（Rn中向量个数无限）(4)向量组的极大无关组可能不止一个.例如，对于向量组：向量组的所有极大无关组含向量个数相同(?)都是的极大无关组.二、等价向量组1.定义设两个向量组:(I)(II)若(I)中每一向量可由(II)线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示；若两向量组可相互线性表示,则称两向量组等价.3.定理8.向量组与其极大无关组等价.推论向量组的任意两个极大无关组等价.等价关系具有：2.定理7.向量组(I)可由(II)，(II)可由(Ⅲ)线性表示向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示1.反身性；2.对称性；3.传递性.推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等。证明思路：构造法定理理解:消去可得推论1(逆否命题)推论2两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等.线性表示∵t≤s，s≤t线性无关，且可由间关系式定理9向量组可由线性表示,若ts，则线性相关.三、向量组的秩定义向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记秩().规定:(1)零向量组的秩为0(2)向量组线性无关当且仅当秩等于s例如：的秩是2.的秩是n.定理10等价等价可由线性表示∴可由线性表示由定理9推论1：r1≤r2证：推论：等价的向量组秩相等.可由线性表示?≤四、典型例题例1求的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线性表示，并写出向量组的秩.对应分量不成比例，线性无关线性相关线性相关为极大无关组繁！解：重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系.线性无关为极大无关组一石三鸟