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切变变换
主要学习内容切变变换
本章主要介绍了线性变换和线性方程组之间的对应关系以及引入了切变变换的概念，讨论了其在实际应用中的作用：在坐标变换和数学物理中的应用.说明了线性变换的矩阵表示和基底变换之间的关系，以及可逆线性变换的性质.在9-11章中，讨论了一些特殊的线性变换，它们的几何性质各不相同，但都可以由矩阵表示.有的保持图形的形状和大小不变，变换前后的图形全等，如旋转、对称和反射.有的虽然改变图形的大小，但保持形状不变，变换前后的图形相似，如位似变换.伸缩变换改变了图形的形状，将圆变为椭圆，但仍将直线变为直线.投影变换将整个平面变成一条直线上，将某些直线变成一个点.
?第一节切变变换对于给定矩阵与它对应的变换具有什么性质？通过前面的学习说明线性变换既可以改变物体的形状，也可以改变物体的大小，那么线性变换可以保持物体的哪些性质呢？下面的一些例子，通过作图来观察线性变换的几何性质，讨论分析，看看所有的线性变换是否有一些共同的性质.
第一节切变变换?
?第一节切变变换?
?第一节切变变换图12-1常见的水平剪切和垂直剪切
?第一节切变变换
?第一节切变变换图12-2剪切变换的效果并不是由直线旋转实现
?第一节切变变换
从上面的论述中的可以总结得到：切变变换是一种线性变换，通过这种变换，对象在平面上沿着某个方向进行平移，同时沿着垂直方向进行拉伸或压缩，从而改变了对象的形状和大小，但保持了对象的面积不变.在切变变换中，对象的形状会被扭曲，但平行线仍然保持平行，这保持了对象的平行性质.第一节切变变换
特别在二维平面上对图形进行切变变换的特点是图形在水平或垂直方向上被拉伸或压缩，分别被称为水平切变（使图形在水平方向上被拉伸或压缩）和垂直切变（使图形在垂直方向上被拉伸或压缩）.除此之外当在各个方向上均进行动作时所得的切变变换称为倾斜切变（使图形在水平和垂直方向上同时被拉伸或压缩）.第一节切变变换
切变变换的概念并不仅仅停留在理论框架中，它融入了现实世界的种种应用场景，为解决实际问题提供了强有力的工具.切变变换改变了对象的形状和大小的同时保持了对象的面积不变。虽然对象的形状被扭曲，但平行线仍然保持平行.第一节切变变换
切变变换在实际应用中常用于调整图像的形状和大小.例如，可以使用切变变换来拉伸或压缩图像的某个区域，以修正图像中的畸变或改变图像的透视效果.在工程设计中，切变变换常用于调整构件的形状和尺寸.例如，在建筑设计中，可以使用切变变换来调整建筑结构中的梁或柱的形状，以适应不同的建筑需求.在地质学中，切变变换被用来描述地球表面的形变和地壳运动.地球表面的地震活动和地质构造会导致地层发生切变变换，形成断层和地裂缝等地质现象，引发地质灾害和自然灾害.冰川流动是另一个自然界中发生切变变换的例子.冰川内部的冰层会随着冰川的运动而发生切变变换，形成冰川的流动和形态的改变，影响着地形的演变和生态系统的变化第一节切变变换
?第一节切变变换
?第一节切变变换
在数学中可以考虑更一般地坐标变换，见图12-3.第一节切变变换图12-3剪切变换用于坐标变换
?第一节切变变换?
?第一节切变变换
?第一节切变变换
?第一节切变变换?
?第一节切变变换?
在讨论线性变换性质的时候，我们知道所有线性变换将原点保持不动.除了原点之外，是否还有其他的点在变换下保持不动？恒等变换可以保持所有的点不动.旋转变换和伸缩变换除了原点之外所有的点都会被移动.反射变换和对称变换保持对称轴上的点不动.除此之外在前面的学习中还知道，一般的线性变换仅能保持线性相关性，但是可逆的线性变换可以保持所有的线性关系.在生活中我们十分关心对于给定线性变换，是否有某条直线不受变换的影响，变换前后均保持一致？这就是接下来我们要继续的主题：特征值与特征向量——线性变换下的不变量.第一节切变变换
切变变换回顾与小结
思考题：课后习题A第2题。作业题：课后习题A第3、7题复习思考题或作业题
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