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第6讲循环群与置换群

循环群

1.定义

循环群是指由一个元的群。具体来说，设\(G\)是一个群，如果存在\(a\inG\)使得\(G=\langlea\rangle=\{a^n|n\in\mathbb{Z}\}\)，则称\(G\)为循环群，\(a\)被称为元。

2.性质

可交换性：循环群是阿贝尔群，即群内的运算满足交换律。

同构性：有限循环群同构于模\(n\)的整数加法群\(\mathbb{Z}_n\)，无限循环群则同构于整数加法群\(\mathbb{Z}\)。

子群性质：循环群的任意子群也是循环群。

元的阶：元\(a\)的阶（即满足\(a^n=e\)的最小正整数\(n\)）等于该循环群的阶。

3.应用场景

循环群在数论、编码理论和密码学中有着重要应用。例如，模\(n\)的整数加法群\(\mathbb{Z}_n\)在密码学中用于设计加密算法。

置换群

1.定义

设\(X\)是一个非空集合，\(\mathsf{Sym}(X)\)表示\(X\)上的全体双射变换的集合。若\(X\)有\(n\)个元素，则\(\mathsf{Sym}(X)\)形成的群称为\(n\)阶置换群，记作\(S_n\)。

2.性质

阶数：\(S_n\)的阶为\(n!\)（\(n\)的阶乘）。

子群：\(S_n\)的任意子群也是置换群。

奇偶性：置换可以分解为对换的乘积，其奇偶性由对换个数决定。

同构性：任意有限群都与一个置换群同构，这是伽罗瓦理论的重要结论。

3.应用场景

置换群在组合数学、图论和计算机科学中有着重要应用。例如，Polya定理利用置换群来计算化学分子结构的对称性，在算法设计中用于优化置换问题的解决方案。

通过理解循环群和置换群的基本概念，我们可以更好地掌握群论的基础知识，并在实际应用中灵活运用这些工具。

第6讲循环群与置换群

循环群

2.1.元的阶

循环群的一个重要性质是元的阶。元(a)的阶定义为满足(a^n=e)的最小正整数(n)，其中(e)是群的单位元。如果不存在这样的(n)，则称元的阶为无穷大。例如，整数加法群(mathbbZ)是一个无限循环群，其元(1)的阶为无穷大。

2.2.循环群的子群

循环群的子群仍然是循环群。设(G=langlearangle)是一个循环群，对于任意正整数(m)，由(a^m)的子群(langlea^mrangle)也是循环群。其阶为(G)的阶除以(m)，即(|G|/m)。

2.3.循环群的应用

循环群在数论、编码理论和密码学中有着重要应用。例如，模(n)的整数加法群(mathbbZn)在密码学中用于设计加密算法，如RSA加密算法。

置换群

2.1.置换的奇偶性

置换可以分解为对换的乘积，其奇偶性由对换个数决定。若对换个数为偶数，则称为偶置换；若为奇数，则称为奇置换。例如，旋转和翻转正方形构成的置换群中，旋转是偶置换，翻转是奇置换。

2.2.置换群的分解

置换群可以分解为不相交的轮换的乘积。例如，置换(12345)可以分解为轮换(123)和(45)的乘积。

2.3.置换群的应用

置换群在组合数学、图论和计算机科学中有着重要应用。例如，Polya定理利用置换群来计算化学分子结构的对称性，在算法设计中用于优化置换问题的解决方案。

通过理解循环群和置换群的基本概念，我们可以更好地掌握群论的基础知识，并在实际应用中灵活运用这些工具。