中考数学二轮复习讲练测题型九 二次函数综合题 类型十一 二次函数与正方形有关的问题（专题训练）（解析版）.doc

题型九二次函数综合题

类型十一二次函数与正方形有关的问题（专题训练）

1.（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．

(1)①求点A，B，C的坐标；

②求b，c的值．

(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．

【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②

(2)；

【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；

（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．

(1)

解：①∵正方形OABC的边长为3，

∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；

②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=?x2+bx+c，

得，解得；

(2)

解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，

∴Rt△ABP∽Rt△PCM，

∴，即．

整理，得，即．

∴当时，n的值最大，最大值是．

【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．

2.（2022·山东泰安）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．

①若点N在线段上，且，求点M的坐标；

②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

【答案】(1)(2)①；②

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；

（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为

根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．

(1)解：二次函数的图象经过点，

．

又抛物线经过点，对称轴为直线，

解得∶

抛物线的表达式为．

(2)

解∶①设直线的表达式为．

点A，B的坐标为，，

∴，解得∶，

直线的表达式为．

根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，

．

设点N的坐标为．

轴，

．

∴

．

，

解，得．

点M的坐标；

②连接与交与点E．

设点M的坐标为，则点N的坐标为

四边形是正方形，

，，．

∵MN⊥x轴，

轴．

E的坐标为．

．

．

∴P的坐标．

点P在抛物线上，

．

解，得，．

点P在第四象限，

舍去．

即．

点M坐标为．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．

3.（2020·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．

（1）求的值．

（2）当点与点重合时，求的值．

（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．

（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

【分析】

（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；

（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；

（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；

（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．

【详解】

解：（1）将点代入

得，

解得b=1,；

（2）由（1）可得函数的解析式为，

∴,

∵于点，

∴,

∵是直线上的一点，其纵坐标为，

∴，

若点与点重合，则

，

解得；

（3）由（2）可得，，

当矩形是正方形时，

即，

即或，

解得，

解得，

又，

∴抛物线的顶点为(1，2)，

∵抛物线的顶点在该正方形内部，

∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，

解得，故m的值为；

（4）①如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，

则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，

即且，

解得，

解得，

∴，

②如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，

则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，

即，解得，

∴