苏科版新教材（2024）七年级数学下册第7章专题：幂的运算与新定义问题强化训练30题（含答案）.docxVIP

幂的运算与新定义问题强化训练30题

一．解答题（共30小题）

1．定义：如果ac＝b，那么c为（a，b）的“幸福指数”，记为L（a，b）＝c．例如32＝9，那么2为（3，9）的“幸福指数”，记为L（3，9）＝2．

（1）填空：L（2，8）＝，L（﹣4，）＝2；

（2）若（﹣3，x）的“幸福指数”为3，（y，﹣8）的“幸福指数”也为3，求x+y的值．

2．如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．

（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝，（﹣3，9）＝；

（2）若（x，64）＝2，则x＝；

（3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．

3．【定义新知】

如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2．

【尝试应用】

（1）（2，8）＝；

【拓展提升】

（2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p．

4．如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．

（1）（2，32]＝；若（﹣2，k]＝3，则k＝；

（2）已知（4，13]＝a，（2，3]＝b，（2，78]＝c，试求a，b，c满足的数量关系．

5．一般地，n个相同的因数a相乘a?a?…?a，记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x＝32，易知x＝5，若2x＝33，则该如何表示x？一般地，如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381＝4；故2x＝33中，x＝log233．

（1）熟悉下列表示法，并填空：

∵21＝2，∴log22＝1，

∵22＝4，∴log24＝2，

∵23＝8，∴log28＝3，

∵24＝16，∴log216＝，计算：log232＝；

（2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28＝；（用对数表示结果）

（3）于是我们猜想：logaM+logaN＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论；

（4）根据之前的探究，直接写出logaM﹣logaN＝．

6．如果a、b、c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2．

（1）（2，8）＝．

（2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，探究m、n、p之间满足的等量关系，并证明．

（3）小明在研究这种记号时发现一个规律：（an，bn）＝（a，b）（n是正整数），请你帮他完成证明．

7．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，若ac＝b，记作（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：

①若（3，x）＝3，则x＝；

②若（y，4）＝2，则y＝．

（2）若（2，5）＝a，（2，3）＝b，（4，15）＝c，请推理a，b，c三个量的数量关系．

8．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（5，1）＝；

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：

设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，

∴3x＝4，即（3，4）＝x，

∴（3n，4n）＝（3，4）．

请你尝试用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）＝（3，20）．

9．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．

例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：

设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，

故3m?3n＝3m+n＝3×5＝15，

则（3，15）＝m+n，

即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．

（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，1）＝；（3，27）＝．

（2）计算（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．

（3