中考数学二轮复习讲练测题型十一 综合探究题 类型四 与旋转有关的探究题（专题训练）（解析版）.doc

题型十一综合探究题

类型四与旋转有关的探究题（专题训练）

1.(2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．

(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；

(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=2AE；

(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△BEH，连接BG，直接写出线段BG

【答案】(1)解：如图1，连接CP，

由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，

∴△FCG为等腰直角三角形，

∵点P是FG的中点，

∴CP⊥FG，

∵点D是BC的中点，

∴DP=12BC，

在Rt△ABC中，AB=AC=22，

∴BC=2AB=4，

∴DP=2；

(2)证明：如图2，

过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，

∴∠AEH=90°，

由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠AEH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，

∴∠H=90°?∠CAD=45°=∠CAD，

∴AE=HE，

∴△EGA≌△EFH(SAS)，

∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，

∴∠EAG=∠BAD=45°，

∵∠AMF=180°?∠BAD?∠AFM=135°?∠AFM，

∵∠AFM=∠EFH，

∴∠AMF=135°?∠EFH，

∵∠HEF=180°?∠EFH?∠H=135°?∠EFH，

∴∠AMF=∠HEF，

∵△EGA≌△EFH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵∠AGN=∠AEG，

∴∠AGN=∠HEF，

∴∠AGN=∠AMF，

∵GN=MF，

∴△AGN≌△AMF(AAS)，

∴AG=AM，

∵AG=FH，

∴AM=FH，

∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵点E是AC的中点，

∴AE=12AC=2，

根据勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，

由折叠直，BE=BE=10，

∴点B是以点E为圆心，10为半径的圆上，

由旋转知，EF=EG，

∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，

∴BG的最小值为BE?EG，

要BG最小，则EG最大，即EF最大，

∵

2.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．

（1）证明：；

（2）如图2，连接，，交于点．

①证明：在点的运动过程中，总有；

②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？

【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形

【分析】

（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；

（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．

【详解】

解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，

∴AH=AG，∠HAG=90°，

∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，

∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，

∴；

（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，

∴AE=AF，是等腰直角三角形，

∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，

∴，

∴∠AEH=∠AFG=45°，

∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；

②∵，点，分别为，的中点，

∴AE=AF=2，

∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：

（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，

∴AH平分∠EAF，

∴点H是EF的中点，

∴EH=；

（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，

∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠EHA=∠EAH，

∴EH=EA=2；

（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，

综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．

3.（2021·四川中考真题）在等腰中，，