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徐希：《数学分析》课程教学大纲

徐希：《数学分析》课程教学大纲

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数学分析

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号

课程名称数学分析

课程类别专业必修

教材名称数学分析

制订人徐希

审核人刘则毅

2005年4月修订

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质

1．课程类别：专业必修课

2．适应专业：数学与应用数学

3．开设学期：第一至第三学期

4．学时安排：周学时6，总学时282

5．学分分配：6学分

（二）开设目的

本课程是数学与应用数学专业（本科）一门必修的重要基础课。它一方面为后继课程，如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础，同时还为培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的学习研究和应用，对自己本身素质的提高，都会起着关键性的作用。

（三）基本要求

通过教学，要求学生掌握微积分（含无穷级数）内容的基本概念、基本理论和基本运算；并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。

（四）主要内容

一元及多元微分、积分的基本理论、方法及应用，无穷级数理论及其应用等。

（五）先修课程

无

（六）后继课程

微分方程、复变函数、微分几何、实变函数与泛函分析等及有关研究生课程

（七）考核方式

闭卷考试

（八）使用教材

华东师大编，《数学分析》，北京：高等教育出版社，2001年第三版.

（九）参考书目

（1）刘玉琏等编《数学分析讲义》，北京：高等教育出版社，2003年第四版.

（2）《微积分学教程》，格.米.菲赫金哥尔茨，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社，1954年

二、教学内容

第一章实数集与函数

教学目的

弄清数集及确界原理，理解变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。

主要内容

第一节实数

第二节数集、确界原理

第三节函数概念

第四节具有某些特性的函数

教学要求

了解：数集及确界原理

理解：变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。

掌握：函数运算法则、特性函数的性质与应用。

第二章数列极限

教学目的

引入数列极限概念及性质，介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。

主要内容

第一节数列极限概念

第二节收敛数列的性质

第三节数列极限存在的条件

教学要求

理解：数列极限概念及性质。

掌握：证明数列极限存在及求极限的基本方法。

第三章函数极限

教学目的

引入数列极限概念及性质，介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。介绍两个

重要的极限及无穷大量与无穷小量

主要内容

第一节函数极限概念

第二节函数极限的性质

第三节函数极限存在的条件

第四节两个重要的极限

第五节无穷大量与无穷小量

教学要求

理解：函数极限的概念，单侧极限

掌握：熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶．

第四章函数的连续性

教学目的

引入连续性概念，介绍连续函数的性质、一致连续及初等函数的连续性。

主要内容

第一节连续性概念

第二节连续函数的性质

第三节初等函数的连续性

教学要求

理解：函数连续概念

掌握：熟练掌握函数极限的性质及运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶．

（1）掌握幂级数、收敛半径、收敛域的概念；

（2）熟悉基本初等函数的Taylor展式，会据此把一些解析函数展为Taylor级数，掌握解析函数的幂级数刻画；

（3）掌握解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理与最小模原理。

第五章导数和微分

教学目的

理解导数的概念和微分的定义，熟练掌握求导法则，微分法则，掌握参数方程所表

示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法，理解无穷小量与无穷大量。

主要内容

第一节导数的概念

第二节求导法则

第三节参变量函数的导数

第四节高阶导数

第五节无穷小量与无穷大量

教学要求

理解：理解导数的概念和微分的定义，无穷小量与无穷大量。

掌握：求导法则，微分法则，掌握参数方程所表示的函数的微分法，高阶导数和高阶微分法

第六章微分中值定理及其应用

教学目的

理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。掌握函数的单调、极值、

最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。

主要内容

第一节拉格朗日定理和函数的的单调性

第二节柯西中值定理和不定式极限

第三节泰勒公式

第四节函数的极值与最大（小）值

第五节函数的凸性与拐点

第六节函数图象的讨论

第七节方程的近似解