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高考圈题〔新课标全国Ⅱ卷-数学理〕

题组27坐标系与参数方程

一、考法解法

命题特点分析

考查不同类型方程的互化.一般以直线与圆的问题为载体.难度不大,但有变难的趋势.

解题方法荟萃

常用方法:

1.极坐标与直角坐标的关系设点的直角坐标为，，极坐标为，，

那么或

2．直线的参数方程

直线过定点，倾斜角为，直线的参数方程为〔为参数，其几何意义是：设直线上点，，满足〕．

3．圆的参数方程

圆心在，，半径为的圆的参数方程：〔为参数〕．

4．圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程〔为参数〕.

二、真题剖析

【题干】(2015新课标全国II卷)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线,其中,，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线

〔1〕求与交点的直角坐标；

〔2〕假设与相交于点A，与相交于点B，求的最大值

【解析】〔=1\*ROMANI〕曲线C2的直角坐标方程为

曲线C3的直角坐标方程为联立解得

所以与交点的直角坐标为

〔=2\*ROMANII〕曲线C1的极坐标方程为

因此点A的极坐标为(2sinα,α),点B的极坐标为(cosα,α).

所以

〔点评〕此题主要考查直线、圆的参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的互化。一般情况下考生习惯用直角坐标方程求解，但此题用及坐标方程求解更为直接。

【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷)曲线：，直线：〔为参数〕.

(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；〔Ⅱ〕过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

【答案】,

【解析】(命题意图)此题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的关系，表达了数学转化思想方法，是中档题．

(解题点拨)(Ⅰ)曲线C的参数方程为：〔为参数〕，直线l的普通方程为：

〔Ⅱ〕〔2〕在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为，

那么，其中为锐角．且.

当时，取得最大值，最大值为；

当时，取得最小值，最小值为.

(点评)第一问联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；第二问设曲线C上任意一点P〔2cosθ，3sinθ〕．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值。

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为,∈［0，］．

〔Ⅰ〕求C的参数方程；〔Ⅱ〕设点D在C上，C在D处的切线与直线l：垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D的坐标．

【答案】(1)，α是参数，0≤α≤π(2)〔，〕

【解析】(命题意图)此题涉及坐标系与参数方程，极坐标的概念、参数方程中参数的意义等多个知识点

(解题点拨)〔Ⅰ〕设点是C上任意一点，那么由可得：，即∴C的参数方程为，α是参数，

〔Ⅱ〕法1设D点坐标为，那么由切线与直线l：垂直得：＝，又因，解得，cosα＝．∴D的坐标为〔，〕

法2＝，α＝∴D的坐标为〔，〕

(点评)试题的设计符合课程标准对坐标系与参数方程选讲内容的教学要求，考查了学生的运算求解能力．

【题干】(2014江苏卷)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，直线与抛物线相交于两点，求线段的长.

【答案】

【解析】(命题意图)此题涉及坐标系与参数方程的转化，极坐标的概念、直线参数方程中参数的意义等多个知识点

(解题点拨)将直线的参数方程代入抛物线方程

得，解得.所以

(点评)考查了直线参数方程中t的几何意义,尚属首次在高考中出现,值得借鉴.

三、高考圈题

【题干】在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是〔t为参数〕．

〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程：

〔2〕假设点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求｜MN｜的最小值．

【圈题理由】第一问考查方程的互化,第二问考查直线与圆的最值问题.是坐标系与参数方程的传统考题.

【答案】(1),(2)

【解析】〔1〕曲线的直角坐标方程为

直线的普通方程为：

(2)设圆心C〔2,0〕到直线l上任意一点的距离为d

所以所以的最小值为

【题干】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕．在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴〕中，圆的方程为.设圆C与直线l交于点，，且.

〔I〕求中点的极坐标；

〔II〕求||＋||的值.

【圈题理由】综合考查非常的相互