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导数知识点总结

CONTENTS

导数的基本概念与性质

初等函数的导数

高阶导数及隐函数求导

微分及其应用

泰勒公式与函数的幂级数展开

导数在解决实际问题中的应用

目录

01

导数的基本概念与性质

PART

导数的定义

导数是函数在某一点的变化率，即函数在该点附近的小变化所引起的函数值的大变化与自变量的小变化的比值在极限情况下的表现。

几何意义

函数在某一点的导数即为该点处切线的斜率，反映了函数在该点附近的瞬时变化率。

导数的定义及几何意义

可导必连续

如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定连续。

连续不一定可导

一个函数在某点连续，并不意味着它在该点一定可导。例如，在某些尖点或折点处，函数虽然连续但不可导。

可导与连续的关系

导数的四则运算法则

求和法则

(u+v)=u+v（两个函数和的导数等于两个函数导数的和）

求积法则

(uv)=uv+uv（两个函数积的导数等于一个函数导数乘另一个函数加上另一个函数导数乘第一个函数的积）

求幂法则

(u^n)=nu^(n-1)u（幂函数的导数等于指数乘幂函数本身再乘以前一个函数的导数）

求链式法则

对于复合函数，其导数等于外层函数导数与内层函数导数的乘积。

链式法则

对于由多个函数复合而成的函数，其导数等于外层函数导数与内层函数导数的乘积，即[f(g(x))]=f(g(x))*g(x)。

多个复合函数的求导

复合函数的隐函数求导

复合函数求导法则

对于多个复合函数嵌套的情况，需要逐层求导，即先求最内层函数的导数，然后逐层向外求导。

对于隐函数，可以通过复合函数求导法则，结合隐函数的导数关系式，求出隐函数的导数。

02

初等函数的导数

PART

若c为常数，则c=0。

常数的导数

(x^n)=nx^(n-1)。

幂函数的导数

通过线性运算和对各项分别求导得到。

多项式函数的导数

多项式函数求导

01

02

03

(sinx)=cosx。

三角函数求导

sinx的导数

(cosx)=-sinx。

cosx的导数

(tanx)=sec^2x。

tanx的导数

a^x的导数

(a^x)=a^x*lna。

指数函数与对数函数求导

e^x的导数

(e^x)=e^x。

对数函数lnx的导数

(lnx)=1/x。

反正切函数arctanx的导数

(arctanx)=1/(1+x^2)。

反正弦函数arcsinx的导数

(arcsinx)=1/√(1-x^2)。

反余弦函数arccosx的导数

(arccosx)=-1/√(1-x^2)。

反三角函数求导

03

高阶导数及隐函数求导

PART

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。

高阶导数的定义

高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但实际操作中常用泰勒展开或函数求导法则等简化计算。

高阶导数的计算

在求解某些物理问题或函数极值问题时，需要用到高阶导数的信息。

高阶导数的应用

高阶导数的定义与计算

隐函数求导方法

隐函数求导法则

对于一个已经确定存在且可导的隐函数，可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

隐函数求导的步骤

首先对方程两边同时求导（注意把y看作x的函数），然后通过代数运算解出y的表达式；如果方程中还包含高阶导数，则继续对y进行求导，直到得到所需的导数阶数。

隐函数求导的注意事项

在求导过程中，要时刻关注函数的定义域和值域，避免出现无意义的表达式；同时，也要注意隐函数求导法则的适用范围和限制条件。

参数方程确定的函数求导

参数方程的概念

参数方程是通过一个或多个变量来表示两个或多个变量之间的关系的方程。

参数方程确定的函数求导方法

首先根据参数方程消去参数，得到自变量之间的显式关系；然后对这个显式关系进行求导，得到所需的导数表达式。如果无法消去参数，则可以使用链式法则和参数方程求导法则进行求解。

参数方程求导的应用

在物理学、工程学等领域中，经常遇到由参数方程确定的函数关系，需要对其进行求导以解决实际问题。

04

微分及其应用

PART

微分表示函数在某一点的变化率，即切线斜率。

几何意义

线性性、可加性、齐次性等。

性质

微分是函数改变量的线性部分，表示为dy=f(x)dx。

微分定义

微分的定义与性质

近似计算

利用微分可以近似计算函数值，如△y≈f(x)△x。

灵敏度分析

微分可用于分析参数变化对函数值的影响。

误差估计

通过微分可以估计近似计算的误差。

微分在近似计算中的应用

微分中值定理及其应用

若函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则至少存在一个点使得该点的导数等于区间两端函数值的差与区间长度的比值。

中值定理

若函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且区间两端函数值相等，则在开区间内至少存在一个使得导数等于零的点。

罗尔定理