《高等函数的连续性与极限》课件.pptVIP

《高等函数的连续性与极限》本课件旨在帮助您理解高等函数的连续性与极限的概念、性质及应用，并掌握相关计算技巧。

课程大纲11.连续性的定义22.函数的连续性分类33.一般函数的连续性判定44.复合函数的连续性55.初等函数的连续性66.函数的性质与连续性77.函数极限的定义88.极限的性质99.利用性质计算极限1010.极限的代数运算1111.函数极限的性质1212.单侧极限与双侧极限1313.无穷小与无穷大1414.无穷小的性质1515.常见无穷小的比较1616.利用比较判断极限1717.极限存在的充要条件1818.函数极限存在的充要条件1919.初等函数极限计算技巧2020.利用代数方法计算极限2121.利用夹逼定理计算极限2222.利用洛必达法则计算极限2323.间断点及其分类2424.间断点的判定2525.间断函数的连续性2626.函数的连续性与可导性2727.函数的可导性概念2828.可导性的充要条件2929.可导性与连续性的关系3030.导数的概念及性质3131.基本初等函数的导数3232.复合函数的求导法则3333.反函数的求导法则3434.高阶导数及其应用3535.习题演练3636.总结与展望

连续性的定义定义设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若lim(x-x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续.直观理解函数在某点连续意味着函数的图像在该点没有“断裂”，可以“平滑”地穿过该点.

函数的连续性分类连续函数函数在定义域内每一点都连续，则称该函数为连续函数.间断函数函数在定义域内至少有一点不连续，则称该函数为间断函数.

一般函数的连续性判定直接判定若函数f(x)在点x0处有定义，且lim(x-x0)f(x)=f(x0)，则f(x)在x0处连续.间接判定若函数f(x)在点x0处有定义，且lim(x-x0)f(x)不存在或lim(x-x0)f(x)不等于f(x0)，则f(x)在x0处不连续.

复合函数的连续性复合函数定义设y=f(u)和u=g(x)均为连续函数，则复合函数y=f(g(x))在g(x)的定义域内连续.判定方法若g(x)在点x0处连续，且f(u)在u0=g(x0)处连续，则复合函数y=f(g(x))在点x0处连续.

初等函数的连续性多项式函数多项式函数在其定义域内处处连续.有理函数有理函数在其分母不为零的点处连续.指数函数指数函数在其定义域内处处连续.对数函数对数函数在其定义域内处处连续.三角函数三角函数在其定义域内处处连续.

函数的性质与连续性1有界性连续函数在闭区间上一定有界.2最大值最小值定理连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值.3介值定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于f(a)和f(b)之间的任意值c，一定存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c.

函数极限的定义定义设函数f(x)在点x0的去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0|x-x0|δ时，有|f(x)-A|ε成立，则称常数A为函数f(x)当x趋近于x0时极限，记为lim(x-x0)f(x)=A.直观理解函数极限表示当自变量无限接近某个值时，函数的值无限接近于某个常数，而并不一定等于该常数.

极限的性质唯一性如果函数f(x)的极限存在，则该极限是唯一的.有界性如果函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有界，且lim(x-x0)f(x)存在，则lim(x-x0)f(x)也是有界的.保号性如果函数f(x)在点x0的某个去心邻域内恒大于零(或恒小于零)，且lim(x-x0)f(x)存在，则lim(x-x0)f(x)也大于零(或小于零).夹逼定理如果函数f(x)、g(x)和h(x)在点x0的某个去心邻域内满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(x-x0)f(x)=lim(x-x0)h(x)=A，则lim(x-x0)g(x)存在，且lim(x-x0)g(x)=A.

利用性质计算极限1.唯一性如果函数f(x)的极限存在，则该极限是唯一的.2.有界性如果函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有界，且lim(x-x0)f(x)存在，则lim(x-x0)f(x)也是有界的.3.保号性如果函数f(x)在点x0的某个去