江苏专版2025版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节函数的图象学案理含解析.docVIP

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第四节函数的图象

1．描点法作图

其基本步骤是列表、描点、连线，详细为：

(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③探讨函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．

(2)列表(留意特别点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．

(3)描点，连线．

2．图象变换

(1)平移变换

①y＝f(x)的图象eq\o(――――――――→,\s\up7(a＞0，右移a个单位),\s\do5(a＜0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)的图象；

②y＝f(x)的图象eq\o(――――――――→,\s\up7(b＞0，上移b个单位),\s\do5(b＜0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b的图象．

(2)对称变换

①y＝f(x)的图象eq\o(――――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)的图象；

②y＝f(x)的图象eq\o(――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)的图象；

③y＝f(x)的图象eq\o(―――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)的图象；

④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq\o(――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称),\s\do5())

y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)的图象

②y＝f(x)的图象

eq\o(――――――――――――――――――――→,\s\up7(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)的图象．

(4)翻转变换

①y＝f(x)的图象eq\o(―――――――――→,\s\up7(x轴下方部分翻折到上方),\s\do5(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；

②y＝f(x)的图象eq\o(――――――――――――→,\s\up7(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象．

[小题体验]

1．f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________.

答案：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈[－1，0]，,－\f(1,2)x，x∈?0，2]))

2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.

解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

答案：e－x－1

3．(2024·扬州期末)若函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必经过的点的坐标是________．

解析：把函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得函数y＝f(－x)＋1的图象．

把函数y＝f(x)的图象上的点(1,2)关于y轴对称，再向上平移1个单位，可得点(－1,3)，

故函数y＝f(－x)＋1的图象必定经过的点的坐标是(－1,3)．

答案：(－1,3)

1．函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移eq\f(1,2)个单位，其中是把x变成x－eq\f(1,2).

2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．如函数y＝f(|x|)的图象属于自身对称，而y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称是两个函数．

[小题纠偏]

1．函数y＝5x与函数y＝－eq\f(1,5x)的图象关于________对称．

答案：原点

2．把函数y＝f(2x)的图象向右平移________个单位得到函数y＝f(2x－3)的图象．

答案：eq\f(3,2)

eq\a\vs4\al(考点一作函数的图象)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)

[题组练透]

分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lgx|；

(2)y＝2x＋2；

(3)y＝x2－2|x|－1.

解：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0＜x＜1.))图象如图1.

(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图2.

(3)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0.))图象如图3.

[谨记通法]

作函数图象的3种常用方法

eq\a\vs4\a