第01讲 空间向量及其运算（原卷版）.docx

第1讲空间向量及其运算

考点分析

考点一：空间向量的共线问题

①定义：空间中有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些有向线段构成的向量共线或者平行．

②空间直线的方向向量：在空间直线l上取一个非零向量a，则与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行共线，即对任意向量a，都有0∥a.

③共线向量基本定理：对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b的充要条件是存在非零实数λ使a＝λb.

考点二：空间向量的共面问题

①定义：空间中平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

②空间中共面向量基本定理：若两个非零向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得.

③空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使得，

考点三：空间中向量数量积的运算

①定义：已知两个非零向量a，b，则a，b的数量积为．

规定：零向量与任何向量的数量积均为0.

②由数量积得出的几个常用结论：

1.若非零向量垂直，则，即a⊥b?a·b＝0.

2.，同理

3.

题型目录

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

题型二：共线、共面向量定理的应用

题型三：空间向量的数量积

题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角

题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度

典型例题

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（）

A．若，，则与所在直线平行

B．向量、、共面即它们所在直线共面

C．空间任意两个向量共面

D．若，则存在唯一的实数λ，使

【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（???????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（）

A． B．

C． D．

【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（???????）

A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若，则?的长度相等且方向相同

C．若向量?满足，且与同向，则

D．若两个非零向量与满足，则.

2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（????????????）

A． B．

C． D．

3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（???????）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．

5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．

6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：

(1)的相等向量，的负向量；

(2)用另外两个向量的和或差表示；

(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.

题型二：共线、共面向量定理的应用

【例1】（2022·全国·高一单元测试）给出下列四个命题，其中是真命题的有（???????）

A．若存在实数，，使，则与，共面；

B．若与，共面，则存在实数，，使；

C．若存在实数，，使则点，，A，共面；

D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．

【例2】（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（???????）

A．P∈AB B．P?AB

C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对

【例3】（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（???????）

A．一定不共面 B．一定共面

C．不一定共面 D．与点位置有关

【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.

【题型专练】

1．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）下列命题中正确的是（???????）

A．若∥，则∥

B．是共线的必要条件

C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面

D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件

2.（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）下列命题不正确的是（???????）

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有

B．“”是“、共线”的充要条件

C．若、共线，则与所在直线平行

D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．

3．（2022·江