第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（原卷版）.docx

计数原理

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【考点分析】

考点一：分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

考点二：分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

考点三：两个计数原理的区别和联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

联系

回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题

区别一

针对的是“分类”问题

针对的是“分布”问题

区别二

各种方法相互“独立”

各个步骤中的方法互相“依存”

区别三

任何一种方法都可以做完这件事

只有各个步骤都完成才算做完这件事

考点四：分类加法计数原理的推广

完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

考点五：分步乘法计数原理的推广

完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．

【题型目录】

题型一：分类加法计数原理

题型二:分步乘法计数原理

题型三:两个原理的综合应用

【典型例题】

题型一：分类加法计数原理

【例1】现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（????）

A．7种 B．9种 C．14种 D．70种

【例2】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（????）．

A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

【例3】某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（????）

A．32 B．34 C．36 D．38

【例4】若、，，，且，则平面上的点共有（????）．

A．21个 B．20个 C．28个 D．30个

【例5】某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（????）

A．27 B．24 C．18 D．16

【例6】如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．

【题型专练】

1．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（????）

A．11种 B．19种 C．30种 D．209种

2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（????）

A．16 B．15 C．12 D．8

3．某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史?物理模型化思维?英语经典阅读?《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙?丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.

4．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.

5.从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（????）

A．7 B．9 C．10 D．13

6．已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．

应用分类加法计数原理的关键：

用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这个分类标准下，完