第02讲 3.1.2椭圆的简单几何性质（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）.docx

第02讲3.1.2椭圆的简单几何性质

课程标准

学习目标

①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。

②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。

③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。

通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。

知识点01：椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

（）

（）

范围

，

，

顶点

，，

，

轴长

短轴长＝，长轴长＝

焦点

焦距

对称性

对称轴：轴、轴对称中心：原点

离心率

，

【即学即练1】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．

【答案】答案见解析

【分析】写出椭圆的标准形式确定对应椭圆参数，即可得长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．

【详解】由题设，椭圆标准方程为，则，

所以长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率为.

知识点02：椭圆的简单几何性质

离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）

当越接近1时，越接近，椭圆越扁；

当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；

当且仅当时，图形为圆，方程为

【即学即练2】（23-24高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.

【详解】由题的，

所以，

所以离心率为，

故选：C.

知识点03：常用结论

1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：

2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）

3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1）；

（2），，；

（3）,，；

知识点04：直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

【即学即练3】（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是．

【答案】且

【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.

【详解】由直线，则可知其过定点，

易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，

则，解得且.

故答案为：且.

2、直线与椭圆的相交弦

直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：

弦长

弦长

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

；

（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为

运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，

两式相减得：，

即，故

结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：

（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，

．求：的面积（用、、表示）．

设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．

由余弦定理知：·①

由椭圆定义知：②，则得

故

【即学即练4】（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（）

A．4 B．2

C．1 D．4

【答案】C

【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，进而求得弦长.

【详解】因为椭圆，可得，所以，

所以椭圆的右焦点的坐标为，

将，代入椭圆的方程，求得，所以.

故选：C.

题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质

【典例1】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、，若的最小值为，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义，可得，推出，再结合，得，即可得解．

【详解】解：设椭圆的右焦点为，连接，，

由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，所以，

??

由椭圆的定义知，，所以，

所以，所以，

而，所以，即，

所以离心率．

故选：D．

【典例2】（23-24高三上·广东河源·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为.

【答案】

【分析】由题意，求出椭圆左焦点关于对称点的坐标，根据点和椭圆的位置关系找出不等关系，列出关于的不等式从而求解离心率范围.

【详解】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为，

因为落在上或