第3讲 等差数列的前项和及性质10大题型（解析版）.docx

第3讲等差数列的前项和及性质10大题型

【考点分析】

考点一：等差数列的前项和公式

考点二：等差数列前项和的性质

等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即

因为

当时，开口向上，有最小值；

当时，开口向下，有最大值；

【题型目录】

题型一：等差数列求和公式基本运用

题型二：利用等差数列的性质求和

题型三：等差数列片段和的性质及应用

题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列

题型五：两个等差数列前项之比问题

题型六：等差数列前n项和的最值

题型七：关于奇偶项问题的讨论

题型八：对于含绝对值的数列求和问题

题型九：等差数列与三角函数结合

题型十：斐波那契数列

【典型例题】

题型一：等差数列求和公式基本运用

【例1】（2022·河北·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】方法一：∵∴

∴

∴

，

方法二：由于是二次函数,当时的函数值，根据二次函数的对称性，由可知，的关于对称，因此，

故选:B

【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案.

【详解】数列满足，则数列是等差数列，

设等差数列的公差为.

因为，

所以，即.

所以，

所以，，

，

所以，.

故选：B

【例3】（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（???????）

A．72 B．74 C．75 D．76

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，，

，.

故选：C.

【例4】（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和=__________.

【答案】

【分析】求出的通项公式，从而得到的通项公式，得到为首项为4，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.

【详解】数列，，

所以，

则，，且，

所以为首项为4，公差为1的等差数列，

所以.

故答案为：

【例5】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（???????）

A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值

C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值

【答案】C

【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.…

…

当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值.

故选：C

【例6】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（???????）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】D

【详解】是等差数列，，又，

∴公差，，故选：D．

【例7】（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.

(1)求；

(2)求数列的前2022项和.

【答案】(1)，(2)

【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合条件即可得到的通项公式，再根据即可得到结果.

（2）由（1）中结果即可求得中的各项，加起来即可求得结果.

（1）

因为为公差为的等差数列的前项和，

且

所以，解得，则公差，

所以，

由于，所以，

（2）

由于，

，

，

所以数列的前2022项和，

【例8】（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．

【答案】1458

【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以，

上层的石板数为，下层的石板数为.

所以下层比上层多块石板.

故答案为：1458

【题型专练】

1.（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（????）

A．18 B．16 C．14 D．12

【答案】C

【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解.

【详解】解：设的公差为，依题意可得，

即，解得，所以；

故选：C.

3.（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：由题意得：

设的公差为又

，又，

故选：D

4.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列