第3讲 等差数列的前项和及性质10大题型（原卷版）.docx

第3讲等差数列的前项和及性质10大题型

【考点分析】

考点一：等差数列的前项和公式

考点二：等差数列前项和的性质

等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即

因为

当时，开口向上，有最小值；

当时，开口向下，有最大值；

【题型目录】

题型一：等差数列求和公式基本运用

题型二：利用等差数列的性质求和

题型三：等差数列片段和的性质及应用

题型四：等差数列前项和与的比构成新的等差数列

题型五：两个等差数列前项之比问题

题型六：等差数列前n项和的最值

题型七：关于奇偶项问题的讨论

题型八：对于含绝对值的数列求和问题

题型九：等差数列与三角函数结合

题型十：斐波那契数列

【典型例题】

题型一：等差数列求和公式基本运用

【例1】（2022·河北·高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为．若，，则（???????）

A．72 B．74 C．75 D．76

【例4】（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，是正整数，设则数列的前项和=__________.

【例5】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（???????）

A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值

C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值

【例6】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（???????）

A．8 B．7 C．6 D．5

【例7】（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.

(1)求；

(2)求数列的前2022项和.

【例8】（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．

【题型专练】

1.（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（????）

A．18 B．16 C．14 D．12

3.（2022·全国·高三专题练习）设是等差数列，且，，则（???????）

A． B． C． D．

4.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（???????）

A．115 B．110 C． D．

5.（2021·云南·模拟预测（文））已知为等差数列，为其前n项和．若，则______．

6．（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（???????）

A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

题型二：利用等差数列的性质求和

【例1】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（????）

A．150 B．120 C．75 D．60

【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则（???????）

A．74 B．81 C．162 D．148

【例3】（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

【例4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（???????）

A．9 B．8 C．7 D．6

【例5】（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.

2.（2022·全国·模拟预测（理））已知等差数列的前项和为，若，则（???????）

A．60 B．75 C．90 D．105

3．（2022·全国·高二课时练习