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第1章直角三角形

1.1直角三角形的性质和判定(I)

第1课时直角三角形的性质和判定

学习目标

1.掌握“直角三角形两个锐角互余”,并能利用“两锐角互余”判断三角形是直

角三角形；(重点)

2.探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.(重点、难点)

教学过程

教学过程

一、情境导入

在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质.

二、合作探究

探究点一：直角三角形两锐角互余

例1如图，AB//DF,AC⊥BC于C,BC与DF交于点E,若∠A=20°,则∠CEF等于()

A.110°B.100°C.80°D.70°

解析：∵AC⊥BC于C,∴△ABC是直角

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三角形，∴∠ABC=90°-∠A=90°-20°=

70°,∴∠ABC=∠1=70°,∵ABIIDF,∴∠1+∠CEF=180°,即∠CEF=180°-∠1=

180°-70°=110°.故选A.

方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键.

探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形

例2如图所示，已知AB//CD,∠BAF

=∠F,∠EDC=∠E,求证：△EOF是直

角三角形.

解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证

∠E+∠F=90°即可，而

,由AB//CD∠

,由AB//CD

可知∠ABC+∠BCD=180°,即问题得证.

证明：∵∠BAF=∠F,∠BAF+∠F+

∠ABF=180°,

∠ABF=180°,

∠ABF).同理，

∠ECD).∵AB//CD,∴∠ABF+∠ECD=

180°∴

90°,∴△EOF是直角三角形.

方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°,如果一个三角形中有两个角的和为90°,可知该三

角形为直角三角形.

探究点三：直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半

例3如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.

(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长；

(2)求证：EF垂直平分AD.

解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,DF=

,再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等

的点在线段的垂直平分线上”证明即可.

··(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，

··

,∴四边形AEDF

的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18;

(2)证明：∵DE=AE,DF=AF,∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.

方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜

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边上的中线的性质，连接中点和直角三角形

的直角顶点进行求解或证明.

探究点四：直角三角形性质的综合运用

【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系

例4如图，在△ABC中，AB=AC,∠

BAC=120°,EF为AB的垂直平分线，交BC于F,交AB于点E.求证：FC=2BF.

解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF,得到△AFB为等腰三角形.又可求得∠B=

∠C=∠BAF=30°,进而求得∠FAC=90°取CF的中点M,连接AM,就可以利用直

角三角形的性质进行证明.

证明：如图，取CF的中点M,连接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=

BF.∴∠BAF=∠B.∵AB=AC,∠BAC=

120°,∴

120°)=30°∴∠FAC=∠BAC-∠BAF=

90°.在Rt△AFC中，∠C=30°,M为CF

的中点，∴∠AFM=60°,

FM∴△AFM为等边三角形.

FC.又∵BF=AF,∴,即FC=2BF.

方法总结：当已知条件中出现直角三角形