可测函数的定义与性质省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

第11讲可测函数定义与性质目标：熟练掌握可测函数定义，熟悉其性质，掌握常见一些可测函数。重点与难点：可测函数引入，性质证明。第1页

第11讲可测函数定义与性质基本内容：一．可测函数定义为了定义新积分，我们已经对Rn中普通集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中确存在一些集合，它们是不可测，所以，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上函数f，考查形如第2页

第11讲可测函数定义与性质集合这可测性,假如对一切上述集合都是可测，则下面和式就有意义了（见本书引言），从而能够讨论其极限存在性，本章目标，就是研究使得集合第3页

第11讲可测函数定义与性质对一切都可测函数之结构。（1）关于∞运算因为我们允许函数值取，所以需作一些要求，我们所讨论函数都是指单值实函数，而且要求（i）（ii）对任意第4页

第11讲可测函数定义与性质（iii）对任意（iv）不过第5页

第11讲可测函数定义与性质及是没有意义，所以，不允许作这种运算。（2）定义定义1假设是可测集，是E上函数，假如对任意常数a，集合都是可测集，则称f是E上可测函数。第6页

第11讲可测函数定义与性质问题1：为了定义函数Lebesgue积分，须要求这些函数满足什么条件？问题2：列举几类可测函数例子？第7页

第11讲可测函数定义与性质（3）简单函数可测性定义设是可测集,E1，E2，…，En是E互不相交可测子集，且C1,C2，…,Cn是常数，则称E上函数为简单函数。第8页

第11讲可测函数定义与性质记为特征函数，则显然有命题1对任意可测集E，E上简单函数是可测。证实：设是E上简单函数，不失普通性，假设第9页

第11讲可测函数定义与性质（若，则将看作某个Ek），往证对任意是可测集。显然，第10页

第11讲可测函数定义与性质所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性等价定义假如可测函数，则称其为非负可测函数。定理1假如是可测集上非负函数，则以下各陈说相互等价：第11页

第11讲可测函数定义与性质（i）在E上非负可测；（ii）存在E上非负简单函数列使得证实，其中第12页

第11讲可测函数定义与性质是E上非负简单函数，满足则对任意实数a及任意是可测集，但故是可测集。(i)?(ii)假设f是E上非负可测函数，即第13页

第11讲可测函数定义与性质任意实数a,是可测集,不难看到故是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测。第14页

第11讲可测函数定义与性质对任意正整数m及令则是互不相交可测集，且定义简单函数第15页

第11讲可测函数定义与性质能够证实（请读者自行验证）。下面证实若使则对任意，所以若则可取正整数则当时，第16页

第11讲可测函数定义与性质所以。证毕。因为定理1中（i）与(ii)等价性，所以，也可将（ii）作为非负可测函数定义。第17页

第11讲可测函数定义与性质（5）普通可测函数等价定义而对普通实值函数，能够作正负部分解：第18页

第11讲可测函数定义与性质则,于是又可利用可测性来定义f可测性。即称可测当且仅当都是可测函数。能够证实该定义与