第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型（原卷版）.docx

第1讲平面向量的概念及线性运算4种题型

【考点分析】

考点一：向量的基本概念

①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．

②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．

③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

④单位向量：长度等于1个单位的向量．

⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点二：向量的线性运算和向量共线定理

①向量的线性运算

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则

①交换律

②结合律

减法

求与的相反向量的和的运算叫做与的差

三角形法则

数乘

求实数与向量的积的运算

(1)

(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；

当时，

考点三：向量共线定理

①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使．

推论：

②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；

③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且

④，．

【题型目录】

题型一：平面向量的概念

题型二：平面向量的加法、减法

题型三：平面向量的线性运算与共线定理

题型四：由平面向量的性质判断图形的形状

【典型例题】

题型一：平面向量的概念

【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例2】下列命题中正确的是（????）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同

D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上

【例3】有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若，则，不是共线向量；③若，则四边形是平行四边形；

④若，，则；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【例4】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则＝||；②若与平行，则＝||；③若与平行且||＝1，则＝．上述命题中，假命题的个数是

A．0B．1C．2D．3

【例5】下列命题中，正确的个数是（????）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若满足，且与同向，则

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若，则

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【例6】（多选题）下面关于向量的说法正确的是（????）

A．单位向量：模为的向量

B．零向量：模为的向量，零向量没有方向

C．平行共线向量：方向相同或相反的向量

D．相等向量：模相等，方向相同的向量

【例7】（多选题）下列叙述中错误的是（????）

A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反

C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量

【题型专练】

1.下列命题正确的是（）

A．向量与是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量

C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行

2.下列命题中正确的个数是（????）

①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；

②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；

③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；

④若，则，是相等向量或相反向量.

A．0 B．1 C．2 D．3

3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是_______.

4.把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是_____________.

5.（多选题）下列说法中正确的是（????）

A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或

C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量

6．（多选题）下列说法中正确的是（????）

A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量

B．若向量，则

C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形

D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算

7．（多选题）下列结论中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件

D．“”的充要条件是“且”

8．（多选题）下列结论中正确的是（????）

A．与是否相等与，的方向无关 B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量

C．若，都是单位向量，则 D．向量与相等

题型二：平面向量的加法、减法

【例1】等于（