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重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合则（????）

A． B．

C． D．

2．已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（????）

A． B． C． D．

3．已知复数满足则的模（????）

A． B． C． D．

4．已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（????）

A．21 B．39 C．41 D．43

5．某地2013年调研了十万名城镇居民的税后年收入（单位：千元）情况，统计数据如下：

收入范围

0~15

15~25

25~35

35~45

45~55

55~65

65~75

75~85

85~95

占比

3.9%

9.3%

5.8%

11.5%

13.5%

20%

18%

11.6%

6.4%

则该地人均税后年收入的中位数大约是（????）

A．46 B．48 C．56 D．58

6．已知角满足则（????）

A． B． C． D．

7．已知函数被称为双曲余弦函数，则函数的零点在下列哪个区间中?（????）

A． B．

C． D．

8．取一条长度为的细绳，把它的两端绑在一起，形成绳套（绳结长度忽略不计）.再分别用两颗钉子将绳套上两点固定在图板的两点上（如图所示），套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖画出一个椭圆.在此过程中，绳子长度保持不变，笔尖与钉子构成的三角形面积的最大值为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（????）

A．函数的最小正周期为

B．函数解析式为

C．函数在区间上单调递增

D．

10．曲线的图象如图所示，若曲线经过两点，那么下列关于该曲线说法正确的有（????）

A．

B．曲线除外还经过另外4个坐标均是整数的点

C．曲线和曲线存在公共点

D．曲线E所围成的封闭区域的面积大于3

11．如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（????）（参考数据：）

??

A．正方体 B．正四面体

C．高是4的圆柱 D．高是5的圆锥

三、填空题

12．的展开式中的系数为.

13．已知直线上有一个动点，若点满足，则点到直线的距离为.

14．已知函数存在两个极值点,满足，则实数.

四、解答题

15．已知正项数列的前项之和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若点列是曲线在第一象限上的点，点的横坐标为，点到原点的距离为，求数列的通项公式，并证明：.

16．智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）

(2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望.

17．如图甲所示，在四边形中，.在边上取一点（不含），将沿线段折起，使得平面垂直平面，如图乙所示.

(1)若在图甲中，，求二面角的平面角的正切值；

(2)当点到平面的距离为时，求四棱锥的体积的大小.

18．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点与抛物线交于两点，线段的长为8.

(1)求的值；

(2)在轴的正半轴上存在点使得求点的坐标及三角形的面积；

(3)若直线与抛物线交于两点，与圆交于两个不同的点求的最小值.

19．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：函数有两个零点；

(3)记第（2）