第03讲 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版）.docx

第3讲空间向量及其运算的坐标表示

考点分析

考点一：空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.

注：空间中一般建立右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

考点二：空间中点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

考点三：空间直角坐标系中对称问题

在空间直角坐标系中，点，则有

点关于原点的对称点是；

点关于横轴(x轴)的对称点是；

点关于纵轴(y轴)的对称点是；

点关于竖轴(z轴)的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是.

考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式

①空间中知道两点求向量：若，则

即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②空间中知道两点求距离：若，则

考点五：空间两点中点坐标的运算

空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.

考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算

若，则

①;②;

③;④

考点七：空间向量的模及两向量夹角的坐标计算公式

若，则

①

②

考点八：空间向量平行和垂直的条件

若，则

①

②

规定：与任意空间向量平行或垂直

典型例题

题型一：空间向量的坐标表示

【例1】（2022·江苏·高二）已知，，，若，则点B的坐标为（???????）．

A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）

C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）

【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（???????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，，是空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且，则点的坐标为（???????）

A． B． C． D．

【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（???????）

A． B． C． D．

【例5】（2022·福建三明·高二期末（多选题））已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（???????）

A．点的坐标为（2，0，2） B．

C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）

【例6】（2022·全国·高二课时练习）若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（???????）

A． B． C． D．

【题型专练】

1．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（???????）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高二单元测试）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（???????）

A． B． C． D．

3.（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体中，，则点的坐标为（???????）

A． B． C． D．

4.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（???????）

A． B． C． D．

5．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习（多选题））如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴?轴?轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（???????）

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高二课时练习）已知，的起点坐标是，则的终点坐标为______．

7．（2022·江苏·高二课时练习）已知点，，，则点的坐标为______．

8．（2022·江苏·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____，的坐标为____，的坐标为_______．

题型二：空间向量的直角坐标运算

【例1】（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）在空间直角坐标系中，，，则向量（???????）

A． B．

C． D．

【例2】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量，，则的坐标为（??????????）

A． B． C． D．

【例3】（2022·重庆·高二期末）在四面体中，，则以下选项正确的有（???????）

A．