2024年高考数学一轮复习专题7.6正态分布练习含解析.docVIP

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第六讲正态分布

【套路秘籍】

【套路秘籍】千里之行始于足下

一．正态曲线的定义

函数，其中实数μ和σ(σ0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．

二．正态曲线的特点

①曲线位于轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，关于直线对称；

③曲线在处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当肯定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的改变而沿x轴平移；

⑥当μ肯定时，曲线的形态由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

三、正态分布

1．正态分布的定义及表示

假如对于任何实数，随机变量X满意(即x=a，x=b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X听从正态分布，记作．

2．正态分布的三个常用数据

①；

②；

③.

【注】若，则.

【修炼套路】

【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

考向一正态分布的对称性

【例1】（1）已知随机变量，且，则（）

A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7

（2）已知随机变量听从正态分布且,则实数()

A．1 B．

C．2 D．4

（3）某校约有1000人参与模块考试,其数学考试成果听从正态分布N(90,a2)(a0),统计结果显示数学考试成果在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成果不低于110分的学生人数约为（）

A．600 B．400

C．300 D．200

【答案】（1）A（2）A（3）D

【解析】（1）由题意，随机变量，且，

可得正态分布曲线关于对称，可得，故选A．

（2）由题意可得正态曲线的对称轴为X=a,又因为,所以a=1.

（3）依据正态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，依据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的，故有大约人，选D.

【举一反三】

1．一试验田某种作物一株生长果个数听从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且听从二项分布，则的方差为（）

A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21

【答案】B

【解析】∵，且，所以

∴，∴，

的方差为．故选B．

2．已知随机变量听从正态分布，若，则的值为______.

【答案】1

【解析】由于，，依题设与关于对称，

即，解得：.

3．已知随机变量听从正态分布且，则_____________

【答案】0.76

【解析】随机变量听从正态分布,则曲线的对称轴为，，

由可得，

则故答案为：0.76．

考向二正态分布运用

【例2】“学习强国”APP是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2024年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习状况，探讨人员随机抽取了名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：

分数

频数

60

100

20

20

频率

0.3

0.5

0.1

0.1

（1）由频率分布表可以认为，这名党员这两天在“学习强国”上的得分近似听从正态分布，其中近似为这名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似这名党员得分的方差，求；

（2）以频率估计概率，若从该地区全部党员中随机抽取人，记抽得这两天在“学习强国”上的得分不低于分的人数为，求的分布列与数学期望.

参考数据：，若，则，，

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由题意得：

（2）从该地区全部党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率为：

由题意得，的可能取值为，且

；；

；；

的分布列为：

【举一反三】

1．某工厂抽取了一台设备在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）计算该样本的平均值，方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）依据长期生产阅历，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值听从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差.任取一个产品，记其质量指标值为.若，则认为该产品为一等品；，则认为该产品为二等品；若，则认为该产品为不合格品.已知设备正常状态下每天生产这种产品1000个.

（i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过？

（ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备换得生产相同产品的改进设备.经测试，设备正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工厂生产一个一等品可获得利润