新高考艺术生40天突破数学第33讲 直线方程（解析版）.docxVIP

第33讲直线方程

【知识点总结】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在。轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即。

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

二、基本公式

1.两点间的距离公式

2.的直线斜率公式

3.直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率存在且过，

注：①当时，；②当不存在时，

（2）斜截式：直线的斜率存在且过，

（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线。

注：可表示经过两点的所有直线

（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。

（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定.

两直线方程

平行

垂直

(斜率存在)

(斜率不存在)

或

或中有一个为0，另一个不存在.

四、三种距离

1．两点间的距离

平面上两点的距离公式为.

特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离

2．点到直线的距离

点到直线的距离

特别地,若直线为l:x=m,则点到l的距离;若直线为l:y=n,则点到l的距离

3.两条平行线间的距离

已知是两条平行线,求间距离的方法:

(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

(2)设,则与之间的距离

注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，

令－31－3，解不等式得或.

故选：D.

例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

恒过的点为，直线变形为，恒过点，所以点到直线的距离最大值即为的长，其中.

故选：D

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点到直线的距离为，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由题意得．

解得或．，．

故选：C.

例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（）

A．PQ∥SR B．PQ⊥PS

C．PS∥QS D．PR⊥QS

【答案】ABD

【详解】

依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，

，，，

由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，

即选项ABD正确，选项C不正确.

故选：ABD

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．

【答案】.

【详解】

由题意知，设直线，在直线上取点，

设点关于直线的对称点为，

则，解得，即，

将代入的方程得，

所以直线的方程为.

故答案为：

例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点关于直线对称的点的坐标是________.

【答案】

【详解】

解：设原点关于直线对称的点的坐标是，

则中点坐标为在直线上，直线的斜率为

则，解得，．

要求的对称的点的坐标是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

例7．（2022·全国·高三专题练习）直线与直线之间的距离为__________．

【答案】

【详解】

化简直线为，

根据平行线间的距离公式，可得，

即直线与直线之间的距离为.

故答案为：.

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：

（1）与相交于一点；

（2）且过点；

（3）且l1在y轴上的截距为.

【解析】

（1）解：由于与相交于一点，故把点代入的方程

可得，联立解得.

（2）解：当时，可得和，此时不满足；

当时，因为且过点，可得，

解得或.

（3）解：由且l1在y轴上的截距为，可得，解得.

例9．（2022·全国·高三专题练习）已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：

（1）边所在直线的方程

（2）边上中线AD所在直线的方程

（3）边的垂直平分线的方程.

【解析】

（1），故边所在直线的方程为：，

化简得到.

（2）中点为，即，故，

故AD所在直线的方程为，即.

（3），故垂直平分线的斜率为，中点为，

故垂直平分线的方程为，即.

例10．（