新高考艺术生40天突破数学第34讲 圆的方程（原卷版）.docxVIP

第34讲圆的方程

【知识点总结】

一、基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

二、基本性质、定理与公式

1.圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为(a,b)，半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）.

注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2.点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内.

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

点P在圆内.

三、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

直线与圆的位置关系判断

1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心到直线的距离，则：

则直线与圆相交，交于两点，；

直线与圆相切；

直线与圆相离

2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：

则直线与圆相交；

直线与圆相切；

直线与圆相离.

五、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

则两圆相交；

两圆外切；

两圆相离

两圆内切；

两圆内含（时两圆为同心圆）

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）

A． B．

C． D．

例2．（2022·全国·高三专题练习）点在圆上，点在圆上，则（）

A．的最小值为

B．两圆公切线有两条

C．两个圆心所在的直线斜率为

D．两个圆相交弦所在直线的方程为

例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线上，且过两圆，

交点的圆的方程．

例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆的方程：.

（1）求的取值范围；

（2）当圆过A(1，1)时，求直线被圆所截得的弦的长.

例5．（2020·江苏·高三专题练习）的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程．

例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.

（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（2）若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点，点在圆上运动.

（1）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程；

（2）求的最值.

例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.

（1）求两圆公共弦所在直线的方程；

（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.

例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆切于点，且过点的圆的方程.

例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点，动点满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）求经过点以及曲线与交点的圆的方程.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2），B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）

A．（x－2）2+y2=13 B．（x+2）2+y2=17

C．（x+1）2+y2=40 D．（x－1）2+y2=20

2．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆关于直线对称的圆的方程为（）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

5．（2022·全国·高三专题练习）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（）

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆的位置关系为（）

A．内含 B．外离 C．相交 D．相切

7．（2022·全国·高三专题练习）若直线与圆相切，则的值为（）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）直线与轴，轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（）

A． B．

C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）与圆的公切线有（）

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

10．（2022·全国·高三专