留数及其应用对数留数与辐角原理.ppt

例计算积分其中常数有两个极点在内只有一个极点第31页，共59页，星期日，2025年，2月5日二.形如型积分其中为有理分式函数.于是求得第32页，共59页，星期日，2025年，2月5日为互质多项式,且合条件:定理5.9设为有理分式,其中(1)、,即比至少高两次，（2）在实轴上无零点，第33页，共59页，星期日，2025年，2月5日取积分路径如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包含在这积分路径内.z1z2z3yCR-RROx第34页，共59页，星期日，2025年，2月5日例5.25第35页，共59页，星期日，2025年，2月5日第36页，共59页，星期日，2025年，2月5日其中为有理分式函数.定理5.10设为有理分式函数.其中与为互质多项式,且满足条件:(1)、的次数比的次数高。(2)、在实轴上无零点。三、形如的积分第37页，共59页，星期日，2025年，2月5日注：公式（2）与（3）都要求在实轴上无零点，即在实轴上无孤立奇点，若在实轴上有孤立奇点，则将(3)式实,虚部分开,得到形如:第38页，共59页，星期日，2025年，2月5日例求的值解：这里m=2,n=1,m-n=1.在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的，在上半平面内有一阶极点ai,第39页，共59页，星期日，2025年，2月5日例5.27计算积分的值.解：因为是偶函数,所以而在上半平面内无奇点，第40页，共59页，星期日，2025年，2月5日由公式（4）比较等式两端的实,虚部得第41页，共59页，星期日，2025年，2月5日*§5.4对数留数与辐角原理(Logarithmicresidueandargumentprinciple)一、对数留数二、辐角原理三、儒歇（Rouche）定理第42页，共59页，星期日，2025年，2月5日关于留数及其应用对数留数与辐角原理第1页，共59页，星期日，2025年，2月5日如果函数f(z)在z0的邻域内解析,C是此邻域内一条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0|z-z0|R两端沿C逐项积分:一、留数的概念及留数定理如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.第2页，共59页，星期日，2025年，2月5日定义5.4设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c–1（1）第3页，共59页，星期日，2025年，2月5日第4页，共59页，星期日，2025年，2月5日定理5.7(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,则（3）Dz1z2z3znC1C2C3CnC第5页，共59页，星期日，2025年，2月5日证明把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重