安徽省六校教育研究会2025届高三下学期2月素质检测考试数学试题.docx

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安徽省六校教育研究会2025届高三下学期2月素质检测考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（???）

A． B． C． D．

3．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（???）

A． B． C．1 D．2

4．现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（???）

A．30种 B．60种 C．90种 D．120种

5．若，则的值为（???）

A．1 B． C． D．

6．已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

7．已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（???）

A． B． C． D．

8．已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（???）

A．2025 B．2026 C．4050 D．4052

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（???）

A．函数的最小正周期为

B．函数在区间上单调递增

C．函数的图象的一条对称轴方程为

D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

10．对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（???）

A．函数是“比翼函数”

B．若函数在上为“比翼函数”，则

C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，

D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则

11．我国知名品牌小米公司的具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线（、为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（???）

A．对任意的且，曲线总关于轴和轴对称

B．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为

C．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为个

D．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为

三、填空题

12．已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为.若，，则.

13．设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为.

14．在中，，（），若当面积取最大值时，，则.

四、解答题

15．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

16．如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，点在棱上，且，，且.

(1)当时，求证：；

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.

17．投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.

(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；

(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.

（提示：请结合数列的递推关系求解）

18．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：为直角三角形；

(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.

19．设各项互不相同的正整数数列，，…，满足：对任意的，都有.

(1)若（）为递减的正整数数列，求的最小值；

(2)对于给定的，设是正整数数列，，…，的最大项；

（ⅰ）求证：和总有一个成立；

（ⅱ）当为奇数时，求证：正整数数列，，…，的最大项的最小值为.

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《安徽省六校教育研究会2025届高三下学期2月素质检测考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

D

B

C

B

C

C

D

AD

ACD

题号

11

答案

ABD

1．A

【分析】先得，根据对数型函数的定义域可得，进而可得.

【详解】,

因为的定义域为，故，

所以.

故选：