第02讲 空间向量基本定理 （原卷版）.docx

第2讲空间向量基本定理

考点分析

考点一：空间向量基底的概念

如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.

考点二：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两相互垂直，且长度均为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.即

典型例题

题型一：基底的基本概念及辨析

【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（???????）

A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高二单元测试）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（???????）

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点不共面

D．O，A，B，C四点中任意三点不共线

【例3】（2022·全国·高一）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

【例4】（苏教版（2019）选修第二册限时训练第4练空间向量基本定理）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【例5】（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（???????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

2．（多选题）已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（???????）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

4．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（???????）

A．若，则

B．，，两两共面，但，，不共面

C．一定存在实数x，y，使得

D．，，一定能构成空间的一个基底

5．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基，且，，，.

(1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．

(2)判断，，，四点是否共面，并说明理由．

题型二：用空间向量基底表示向量

【例1】（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（???????）

A． B．=

C．= D．=

【例2】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（???????）

A． B．

C． D．

【例3】（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（???????）

A． B．

C． D．

【例4】（2022·四川雅安·高二期末（理））设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（???????）

A． B． C． D．

【例5】（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（???????）

A． B．

C． D．

【题型专练】

1.（2022·安徽滁州·高二期末）三棱柱中，为棱的中点，若，则（???????）

A．B．C．D．

2．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（???????）

A． B．

C． D．

3.（2023·全国·高三专题练习（理））如图，平行六面体中，为的中点.若，则（???????）

A． B． C． D．

4.（2022·江西上饶·高二期末（理））如图，设，若，则（???????）

A．B．C．D．

5.（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（???????）

A． B． C． D．

题型三：用空间向量基本定理解决长度、夹角等几何问题

【例1】（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（???????）

A． B． C． D．

【例2】（2022·江苏泰州·高二期末