第03讲 3.2.1双曲线及其标准方程（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）（解析版）.docx

第03讲3.2.1双曲线及其标准方程

课程标准

学习目标

①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。

②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。

③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。

通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.

知识点01：双曲线的定义

1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2、集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3、说明

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.

(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;

(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.

【即学即练1】（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（????）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】C

【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可.

【详解】由题意可得圆心，半径.

因为M是线段的垂直平分线，所以，

则.

因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.

故选：C

知识点02：双曲线的标准方程

焦点位置

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

（）

（）

图象

焦点坐标

，

，

的关系

两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.

【即学即练2】（23-24高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】确定即可得双曲线方程.

【详解】双曲线的焦点坐标是和可得，

实轴长是2可得，

所以，

所以方程是.

故选：B.

题型01双曲线定义的理解

【典例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（????）

A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对

【答案】D

【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.

【详解】因为、，所以，

而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线.

故选：D

【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（????）

A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线

【答案】D

【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.

【详解】因为，，

故的轨迹是已、为端点的两条射线，

故选：D.

【典例3】（多选）（23-24高三上·河北保定·期末）平面内有一定点和一个定圆，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹可以是（????）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

【答案】BCD

【分析】根据各曲线的定义确定轨迹.

【详解】

如图所示，由垂直平分线可知，，

当点在圆外时，，即动点到两定点之间的距离之差为定值，故此时点的轨迹为双曲线，故D选项正确；

当点在圆上时，点与点重合；

当点在圆内且不与圆心重合时，，即动点到两定点之间的距离之和为定值，故此时点的轨迹为椭圆，故C选项正确；

当点与点重合时，为中点，即，即动点到点的距离为定值，故此时点的轨迹为圆，故B选项正确；

故选：BCD.

【变式1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知，，则动点P的轨迹是（）

A．双曲线 B．双曲线左支

C．一条射线 D．双曲线右支

【答案】C

【分析】

根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.

【详解】

因为，于是有，

所以动点P的轨迹是一条射线．

故选：C

【变式2】（23-24高二上·重庆巫山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（????）

A．椭圆 B．抛物线

C．双曲线 D．双曲线的一支

【答案】D

【分析】由双曲线的定义可得答案.

【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线.

而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支.

故选：D

【变式3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（????）

A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线

【答案】BCD

【分析】由双曲线的定义判断．

【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线，

当时，点M的轨迹为两条射线，

当时，点M的轨迹为双曲线，

当时，点不存在，

故选：BCD

题型02利用双曲线定义求方程

【典例1】（2024高三·全国·专题