第03讲 直线的一般式方程（2种题型+过关检测）解析版.docx

第03讲直线的一般式方程（2种题型+过关检测）

知识点：直线的一般式方程

方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．

注意点：

(1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数．

(2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合．

(3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合．

题型1直线的一般式方程

【例题1】（22-23高二上·山东青岛·阶段练习）已知的顶点，，直线的斜率为．

(1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；

(2)求角的角平分线所在直线的一般式方程．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可；

（2）根据题意，分点位于直线上方和点位于直线下方两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：当所求直线过原点时，设直线方程为，

因为直线过点，所以，故方程为，

当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，

所以，设所求直线方程为，

因为直线过点，所以，解得，

所以所求直线方程为

综上，满足条件的直线方程为或.

（2）解：因为的顶点，，直线的斜率为，

所以，直线方程为，直线的倾斜角为，

根据题意，作出其图形，如图，

当点位于直线下方时，，此时其角平分线为，

角平分线的倾斜角为，

所以，角平分线方程为，即；

当点位于直线上方时，，此时其角平分线为，

角平分线的倾斜角为，

所以，角平分线方程为，即.

所以，角的角平分线所在直线的一般式方程为或

【变式1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（????）

A．，或 B．，或

C． D．

【答案】A

【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.

【详解】设，直线过和，

当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.

设关于轴的对称点为，

当直线过两点时，，三角形是等腰三角形，

同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，

所以，此时直线的方程为

设直线与轴相交于点，如图所示，若，

则，所以直线，也即直线的斜率为，

对应方程为.

故选：A

【变式2】．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知直线经过点和.

(1)求的一般式方程；

(2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据两点式方程可得；

（2）先求中点的坐标，再根据得的斜率，进而可得的斜截式方程.

【详解】（1）由题意得的两点式方程为，

化为一般式方程为.

（2）设，的斜率分别为，.

由题意得中点的坐标为，

由，得，则.

因为，所以，得.

故的斜截式方程为.

【变式3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知的三个顶点分别为．（结果请写成直线方程的一般式）

(1)求边AB和边AC所在直线的方程；

(2)求边AC上的中线所在直线的方程；

(3)求边AC的垂直平分线的方程．

【答案】(1)直线为；直线为

(2)

(3)

【分析】（1）计算，，代入点坐标得到答案.

（2）确定中点坐标为，，得到答案.

（3）边AC的垂直平分线的斜率，直线过点，计算得到答案.

【详解】（1），故直线为：，即；

，故直线为：，即；

（2）的中点，，

故直线为：，即.

（3）边AC的垂直平分线的斜率，直线过点，

故垂直平分线为：，即

题型2方程含参数的直线过定点问题

【例题2】（23-24高二上·全国·课后作业）不论m取何值，直线都过定点（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意整理得，令，求解即可得定点.

【详解】因为，整理得，

令，解得，

所以直线过定点.

故选：B.

【变式1】（21-22高二上·安徽合肥·期中）不论为何实数，直线恒过（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】求出直线恒过定点，即可作出判断.

【详解】直线可化为，由，解得，因为点在第四象限，所以直线恒过第四象限.

故选：D

【变式2】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为.

【答案】

【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.

【详解】令，解得，故经过的定点坐标为.

故答案为：

【变式3】（23-24高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为.

(1)求证：不论为何值，直线必过定点；

(2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）化简直线方程为，列出方程组，求得定点坐标，即可可证；

（2）根据题意，分直线过坐标原点和不过坐标原点，两种情况讨