新高考艺术生40天突破数学第6讲 指对幂函数（解析版）.docxVIP

第06讲指对幂函数

【知识点总结】

一、指数的运算性质

当a0，b0时，有

(1)aman=am+n(m,n?R)； (2)(m,n?R)

(3)(am)n=amn(m,n?R)； (4)(ab)m=ambm(m?R)；

(5)(p?Q) (6)(m,n?N+)

二、指数函数

(1)一般地，形如y=ax(a0且a?1)的函数叫做指数函数；

(2)指数函数y=ax(a0且a?1)的图像和性质如表2-6所示.

y=ax

a1

0a1

图象

(1)定义域：R

(1)定义域：R

值域

(2)值域：(0,+?)

(2)值域：(0,+?)

(3)过定点(0,1)

(3)过定点(0,1)

(4)在R上是增函数.

(4)在R上是减函数.

(5)0y1?x0

y=1?x=0

y1?x0

(5)0y1?x0

y=1?x=0

y1?x0

三、对数概念

，叫做以为底的对数.

注：①，负数和零没有对数；

②；

③.

四、对数的运算性质

特殊地

五、对数函数

（1）一般地，形如的函数叫对数函数.

（2）对数函数的图像和性质，如表2-7所示.

图像

性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）图像过定点：

（4）在上是增函数

（1）定义域：

（2）值域：

（3）图像过定点：

（4）在上是减函数

六、幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量.

七、幂函数的图像

幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.

当时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.

八、幂函数的性质

当时，幂函数在上是增函数，当时，函数图像是向下凸的；当时，图像是向上凸的，恒过点；当时，幂函数在上是减函数.幂函数的图像恒过点.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，故，

故选：C.

例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．

A．log32 B． C．log23 D．

【答案】C

【详解】

方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x0，∴2x＝3，∴x＝log23.

故选：C

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且），其中a，b均为实数.

（1）若函数的图象经过点，，求函数的解析式；

（2）如果函数的定义域和值域都是，求的值.

（1）因为函数的图象经过点，，

∴，∴

∴函数.

（2）如果函数的定义域和值域都是，

若，则函数为增函数，

∴，无解.

若，则函数为减函数，

∴，解得，

∴.

例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

【详解】

（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．

（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．

例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值

（1）；

（2）；.

（3）；．

（4）.

【详解】

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）判断在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（2）解关于的不等式.

【详解】

（1），则函数是奇函数，

则当时，设，

则

，

，

，即，，

则，即，

则在，上是增函数，

是上的奇函数，

在上是增函数.

（2）在上是增函数，

不等式等价为不等式，

即.

即不等式的解集为.

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，

（1）当时，求的值域；

（2）若对，成立，求实数的取值范围；

（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．

【详解】

（1）当时，函数，

的值域

（2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1．

而在上单调递减，所以，即

（3）对，，使得成立，

等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9

由，

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当时，，函数．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：对任意，都有；

（3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数．

【详解】

（1）判断结论：为偶函数．以下证明．

证明：，

．

对于任意的，，，

，

函数为偶函数；

（2）函数是定义在实数上的偶函数，

，

，

．

故原命题得证．

（3），

的图象过点，，关于轴对称，

如图可知：与大致有8个交点．

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【