新高考艺术生40天突破数学第09讲 导数的运算及切线方程（解析版）.docxVIP

第09讲导数的运算及切线方程

【知识点总结】

一、基本概念

1、导数的概念

设函数在附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数在处的导数，记作或即

2、导数的几何意义

函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点的切线方程为

3、导数的物理意义:设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了这一段时间里车的平均速度为当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.若令，则可以认为，即就是时刻的瞬时速度.

二、基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式如表

，为正整数

为有理数

注：

三、导数的运算法则（和、差、积、商）

设均可导，则

（1）（2）

（3）（4）

注：

四、复合函数的导数

复合函数的导数与函数的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积”，也就是先把当作一个整体，把对求导，再把对求导，这两者的乘积就是复合函数对的导数，即.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：∵的导数为，

∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．

故选：C．

例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

设，则，，又为偶函数，

∴，则对应导函数为，

∴，即所求的切线斜率为2.

故选：B

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（）

A． B． C．10 D．20

【答案】D

【详解】

因为，所以，

所以.

故选：D

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.

【答案】4x﹣2y﹣3=0

【详解】

解：由，得，

由，当且仅当x=1时等号成立，

∴x=1满足题意，此时，又，

∴所求切线方程为，即4x﹣2y﹣3=0.

故答案为：4x﹣2y﹣3=0.

例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．

【答案】（，e）

【详解】

设切点的坐标为（m，n），

y＝e2x的导数为y′＝2e2x，

由切线方程y＝kx，

可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，

解得m，n＝e，

即切点的坐标为（，e）．

故答案为：（，e）．

例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______________________．

【答案】

【详解】

由题意得，将与分别代入，

得，，

解得，，而，

所以所求切线方程是，即．

故答案为：

例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

【详解】

（1）因为，则；

（2）因为，则；

（3）因为，则；

（4）因为，则

；

（5）因为，故.

例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线.

（1）求曲线S在点处的切线方程；

（2）求过点并与曲线S相切的直线方程.

【详解】

（1）∵，则，

∴当时，，

∴点处的切线方程为：，即.

（2）设切点坐标为，则直线斜率，而，整理得：

∴，则，即有，解得，

当时：，直线方程为；

当时，，直线方程为；

当时，，直线方程为.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（）

A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒

【答案】C

【分析】

利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前秒的平均速度为，进而可求得结果.

【详解】

∵，

∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．

故选：C．

2．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.

【详解】

如图所示，是函数的图象在（即点A）处切线的斜率，是函数的图象在（即点B）处切线的斜率，是割线的斜率．

由图象知,，即．

故选:B．

3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数可导，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据导函数的定义得，根据，即可求出结果.

【详解】

．

故选：C.

4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若，则（）

A．36 B