最优化理论与方法习题.pptVIP

第一章习题课二次型n个变量的二次齐次多项式称为一个n元二次型,简称二次型三元二次型2二次型可以写成1令因为二次型的矩阵表示系数排列成一个矩阵二次型矩阵因为A是一个对称矩阵.二次型矩阵都是对称矩阵0102令二次型就可以用矩阵的乘积表示出来即为二次型如果对于任意一组不全为零的实数都有1就称为正定的.2A是一个实对称矩阵,如果实二次型3是正定的,则A称为正定矩阵.4设是一个实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有01就称是负定的.02如果对于任意一组实数,都有03,就称是半正定的.04如果对于任意一组实数,都有,就称是半负定的.如果即不是半正定的,也不是半负定的,就称它是不定的.02010301设A是实对称矩阵,如果二次型是负定02的,就称A是负定的；03如果是半正定的或半负定的,就称A是04半正定的或半负定的.AB其中在代数学中将特殊的二次函数称为二次型二次函数二次函数Hesse矩阵设所有的二阶导数都存在,那么f的Hesse矩阵即01例求目标函数的梯度和Hesse矩阵02解:因为又因为1所以2即为Hesse矩阵3无约束函数极值的充分条件若点x*满足以及是正定(负定)的，则x*是f(x)的一个严格的局部最小(大)点。例求f(x1,x2)=2x12－8x1+2x22－4x2+20的极值点及极值解：先求平稳点平稳点为x*＝[2,1]THesse矩阵为x*＝[2,1]T是f(x)的严格极小点，f(x*)=10例：利用极值条件解下列问题利用极值条件解下列问题：设取点,验证是f(x)在点处的一个下降方向证明：所以是f(x)在处的一个下降方向