河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题.docx

邯郸市2024—2025学年第一学期高二年级期末质量检测

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.抛物线的准线方程为（）

A. B. C. D.

2.已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

3.已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l方程为（）

A. B. C. D.

4.已知的三个内角A，B，C成等差数列，则的值为（）

A. B. C. D.

5.一个容积为2升的瓶中装满某种水溶液，从中倒出1升后用水添满摇匀，再倒出1升混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的10%，则至少需要倒（）

A.3次 B.4次 C.5次 D.6次

6.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（）

A B. C. D.

7.过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（）

A. B. C. D.8

8.如图，已知三棱锥的侧棱，，且两两所成的角均为60°．若空间中的点D，E满足，，则的最大值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.在平面直角坐标系中，过圆外的动点作圆的两条切线，切点为，则下列结论正确的有（）

A.若点，则四边形的面积是

B.若点，则四边形外接圆方程是

C.若点在直线上，则所在圆的直径的最小值是

D.当取得最小值时，点到圆心的距离为

10.已知数列满足，．若，记数列的前n项和为，则（）

A. B. C. D.

11.如图，四面体由矩形ABCD沿对角线AC折叠而成，其中，，当向量和所成的角为45°时，下列结论正确的有（）

A.折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于

B.棱BD的长度为4

C.平面ABD

D.四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为______．

13.已知数列满足，当时，，则数列的通项公式______．

14.如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知数列的前n项和满足，数列满足．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

16.已知平面直角坐标系xOy内的直线：与直线：，平面内点M向直线，作垂线，垂足分别为P，Q，记，，定义点M的“距离坐标”为．

（1）当时，求点M的轨迹方程．

（2）“距离坐标”为的点M共有几个？请写出其坐标．

（3）求“距离坐标”为的点M到原点O的距离．

17.已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等．

（1）求抛物线的方程．

（2）若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足．

（ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q；

（ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值．

18.如图，三棱柱中，，，，点P是棱的中点，连接BP，，，．

（1）（ⅰ）求的长；

（ⅱ）判断直线和平面BCP是否垂直，并证明你的结论．

（2）求平面与平面夹角余弦值．

19.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，．

（1）求双曲线标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围．

（2）（ⅰ）证明：，在一条定直线上．

（ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围．