高中数学第一章导数及其应用17定积分的简单应用省公开课一等奖新课获奖课件.pptx

§1.7定积分简单应用

第一章导数及其应用

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学习目标

1.会应用定积分求两条或多条曲线围成图形面积.

2.能利用定积分处理物理中变速直线运动旅程、变力做功问题.学会用数学工具处理物理问题，深入体会定积分价值.

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问题导学

达标检测

题型探究

内容索引

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问题导学

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知识点一定积分在几何中应用

思索怎样利用定积分求不分割型图形面积？

答案求由曲线围成面积，要依据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.

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梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成曲边梯形面积S＝.

(2)当x∈[a，b]时，若f(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成曲边梯形面积S＝.

(3)当x∈[a，b]时，若f(x)g(x)0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成平面图形面积S＝.(如图)

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知识点二变速直线运动旅程

思索变速直线运动旅程和位移相同吗？

答案不一样.旅程是标量，位移是矢量，旅程和位移是两个不一样概念.

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梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内旅程和位移均用dt求解.

(2)当v(t)0时，求某一时间段内位移用dt求解，这一时段旅程是位移相反数，即旅程为－dt.

做变速直线运动物体所经过旅程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上定积分，即.

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知识点三变力做功问题

思索恒力F沿与F相同方向移动了s，力F做功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样处理？

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梳理假如物体在变力F(x)作用下做直线运动，而且物体沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做功为.

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2.在求变速直线运动旅程时，物体运动速度一定为正.()

3.在计算变力做功时，不用考虑力与位移方向.()

[思索辨析判断正误]

×

√

×

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题型探究

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类型一利用定积分求面积

解析

答案

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所以，所求图形面积为

S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD

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反思与感悟求由曲线围成图形面积普通步骤

(1)依据题意画出图形.

(2)找出范围，确定积分上、下限.

(3)确定被积函数.

(4)将面积用定积分表示.

(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.·

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解答

跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形面积.

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所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4交点坐标为(－3,5)和(2,0)，

设所求图形面积为S，

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解答

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解画出图形，如图所表示.

得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，

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反思与感悟两条或两条以上曲线围成图形，一定要确定图形范围，经过解方程组求出交点坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.

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解答

跟踪训练2求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x所围成图形面积.

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类型二定积分在物理中应用

例3一点在直线上从时刻t＝0s开始以速度v＝t2－4t＋3(v单位：m/s)运动，求：

(1)该点在t＝4s时位置；

解答

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解答

(2)该点前4s走过旅程.

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反思与感悟(1)求变速直线运动物体旅程(位移)方法

①用定积分计算做直线运动物体旅程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)0，则运动物体旅程为s＝v(t)dt；若v(t)0，则运动物体旅程为s＝|v(t)|dt＝－v(t)dt；

②注意旅程与位移区分.

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(2)求变力做功方法步骤

①首先要明确变力函数式F(x)，确定物体在力方向上位移；

②利用变力做功公式W＝F(x)dx计算；

③注意必须将力与位移单位换算为牛顿与米，功单位才为焦耳.

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解析

跟踪训练3一弹簧在弹性程度内，拉伸弹簧所用力与弹簧伸长长度成正比.若20N力能使弹簧伸长3cm，则把弹簧从平衡位置拉长13cm(在弹性程度内)时所做功W为

答案

√

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解析设拉伸弹簧所用力为FN，弹簧伸长长度为xm，则F＝kx.

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达标检测

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