2025版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析理.docVIP

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第四节数系的扩充与复数的引入

[考纲传真]1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个详细复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．

(2)分类：

满意条件(a，b为实数)

复数的分类

a＋bi为实数?b＝0

a＋bi为虚数?b≠0

a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up12(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面对量eq\o(OZ,\s\up12(→))＝(a，b)．

3．复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up12(→))＝eq\o(OZ1,\s\up12(→))＋eq\o(OZ2,\s\up12(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up12(→))＝eq\o(OZ2,\s\up12(→))－eq\o(OZ1,\s\up12(→)).

eq\o([常用结论])

1．(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

2．－b＋ai＝i(a＋bi)．

3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．

4．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.

[基础自测]

1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. ()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ()

(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()

[答案](1)×(2)×(3)× (4)√

2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()

A．A B．B

C．C D．D

B[共轭复数对应的点关于实轴对称．]

3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为()

A．1 B．－1

C．±1 D．0

A[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1＝0,m＋1≠0))，解得m＝1，故选A.]

4．复数eq\f(1＋2i,2－i)＝()

A．i B．1＋i

C．－i D．1－i

A[eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(?1＋2i??2＋i?,?2－i??2＋i?)＝eq\f(5i,5)＝i.]

5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于()

A．第一象限 B．其次象限

C．第三象限 D．第四象限

D[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋3y，,y－1＝2y＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))

则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]

复数的有关概念

1．(2024·全国卷Ⅰ)设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()

A．0B.eq\f(1,2) C．1 D.eq\r(2)

C[z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(?1－i?2,?1＋i??1－i?)＋2i＝i，所以|z|＝1.]

2．(202