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汉寿县第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

一、单选题

1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数是（????）

A． B． C． D．

2．已知复数，则下列说法正确的是（????）

A．复数的实部为3 B．复数的模为5

C．复数的虚部为 D．复数的共轭复数为

3．在△ABC中角ABC的对边分别为A．B．c，cosC＝，且acosB+bcosA＝2，则△ABC面积的最大值为

A． B． C． D．

4．下列函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（????）

A． B． C． D．

5．下列说法正确的是（????）

A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大

B．A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小

C．若则事件A与B是互斥且对立事件

D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

6．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是（????）

A．7 B．5 C．3 D．1

7．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（????）

A．4 B．8 C．32 D．64

8．已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知曲线，下列结论正确的有（???）

A．若，则是椭圆 B．若是圆，则

C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线

10．在正方体中，下列说法中正确的是（????）

A．

B．

C．与平面所成的角为

D．与平面所成的角为

11．已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（????）

A． B．为奇函数

C．是周期函数 D．

三、填空题

12．数列是等差数列，且，，那么.

13．曲线在点（1，1）处的切线方程为．

14．已知：，，：方程表示焦点在轴上的椭圆.若“”为真，“”为真，求的取值范围.

四、解答题

15．如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为．

(1)求边上的高线所在直线的方程；

(2)求三角形的面积.

16．已知抛物线经过的三个顶点，且点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线的倾斜角互补，求直线的斜率．

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD?侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）求三棱锥A-PCD的体积.

18．已知等差数列满足，，数列满足，且．

(1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：

(2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．

19．已知椭圆与双曲线．

（1）若椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于3，求和的取值范围；

（2）若椭圆的长轴长为8，短轴长为4，双曲线与直线l：有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于点，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程．

《湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

D

D

D

D

D

A

CD

ABD

题号

11

答案

ACD

1．D

【详解】由题，，则满足上述条件的集合就是的子集，

则集合的个数是4.

故选：D

2．D

【详解】，故复数的实部为，A错误；，B错误；的虚部为，C错误；复数的共轭复数为，D正确.

故选：D

3．D

【详解】△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cosC，

利用同角三角函数的关系式sin2C+cos2C＝1，

解得sinC，

由于acosB+bcosA＝2，

利用余弦定理，

解得c＝2．

所以c2＝a2+b2﹣2abcosC，

整理得4，

由于a2+b2≥2ab，

故，

所以．

则，

△ABC面积的最大值为，

故选D．

4．D

【详解】显然函数、都是奇函数，AC不是；

当时，，而函数在上单调递减，函数在上单调递减，B不是；

函数是周期为的偶函数，当时，，为原函数，即在上递增，D是.

故选：D

5．D

【详解】A:若A为必然事件,B为不可能事件,则事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大就是错误的；

B:从1、2、3、4中任取一个数，用A表示取到的数是1、2、3中的一个，用B表示取到的数是2、3、4中的一个，则A,B同时发生的概率为，A、B中恰有一个发生的概率为，二者相等，故B错误；

C:设在区间上，任取一个数，设