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其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

流体力学11流动方程的解及流态

导读：1.流动方程的解；2.层流和湍流；3.流动的稳定性。首先对

前面得出的流动方程组进行求解；然后介绍两种不同形式的流态，层

流和湍流；最后介绍流动的稳定性及层流和湍流的转化方式和条件。

流动方程的解

流体的运动遵循质量守恒，动量定理和热力学第一定律，对应连

续方程，动量方程和能量方程，这三个方程一起经常被称为NS方程

组：这里面待求的未知量有四个，分别为流体的速度，压力，密度和

温度，所以还需要补充一个方程才能求解，这个方程就是物性方程。

对于理想气体或不可压缩，流体这个物性方程是不同的：现在有四个

方程和四个未知数了。理论上任何流动就都可以求解。一般认为，牛

顿流体的任何流动都是这个方程组的解，只是初始和边界条件不同。

理论是如此,现实却很残酷，因为NS方程是二阶非线性偏微分方程，

想求解并不容易。一百多年来，经过很多前辈的努力，到现在得到了

几十个特解，也就是说，仅仅对于这几十种流动，我们完全知道流体

的运动规律。现在我们就来分析其中的一种泊肃叶流动，看看是如何

求解的。

泊肃叶流动是在两个无限大平板之间由压力驱动的平行流动，并

且流动满足定常、二维、不可压缩。当流动为不可压缩时，压力与温

度无关，不需要求解能量方程。这里把定常二维不可压的连续方程和

动量方程写出来：即使经过了这些条件的简化，这个方程组仍然是无

法求解的。泊肃叶流动之所以能够求解，是因为还可以继续简化。由

于流动是沿x方向，流场中所有位置的y方向速度都为零，所以为零，

从而也为零，即速度沿x方向不变。根据同样的原理，动量方程中的

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼

一些项也为零，可以看到方程被大大地简化了。考虑到u不随x变化，

x方向的动量方程简化成了一个线性常微分方程：等式右边只与y有

关，可以看出，与x无关，是个常数，所以可以通过两次积分得到方

程的通解：通过引入上下壁面的无滑移条件，可以得到这个问题的特

解：对于具体的问题。一般已知的是流量或者平均流速，可以把是

用平均流速表示出来：这个平均流速是最大流速的一半。这样对于泊

肃叶流动问题，我们就得到了所有的流动信息。

层流与湍流

困扰流动问题的不光是方程不易求解的问题，更麻烦的是解不唯

一的问题，这就涉及到流态的概念。流体流动可以分为两种流动状态，

层流和湍流。泊肃叶流动，流场内的速度都是已知的：如果进口有这

样一排流体微团，他们的运动轨迹是这样的平行的：

不现实生活中，我们观察到的流动不都是这样。如果流动是层流，

则微团的运动轨迹是平行的；如果流动是湍流状态，则进口的一排流

体微团向下游流动时轨迹是很乱的，每个微团的速度大小和方向都会

随时改变。

可见层流和湍流是两种完全不同的流动状态，对于湍流流动不再

是定常，也不再是二维的了。当然，如果对各处的流动速度做时间平

均，平均后的湍流还是有很好的规律的，仍然满足中心处速度最大。

但平均速度剖面与层流时有很大的不同：

博观而约取，厚积而薄发。——苏轼

现在我们要回来给前面的例子加一个条件，就是这样的边界条件

的流动必须为层流才可以求解。如果流浪是湍流，是无法得到解析解

的。现在