福建省2025届高三下学期2月测评（金科百校联考）数学试题.docx

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福建省2025届高三下学期2月测评（金科百校联考）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（???）

A． B． C．5 D．8

3．已知为平面内夹角为的单位向量，若，则（???）

A． B． C． D．

4．著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为，远日点到太阳的距离约为，则该椭圆的焦距约为（???）

A． B． C． D．

5．若且，已知是R上的单调函数，则实数的取值范围为（???）

A． B． C． D．

6．已知，若，当取得最大值时，（???）

A． B． C． D．

7．在三棱锥中，已知平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（???）

A． B． C． D．

8．已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（???）

A． B．2 C． D．3

二、多选题

9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（???）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上的最小值为 D．函数为奇函数

10．已知函数，则下列说法正确的是（???）

A．存在实数a，使得的图象关于点对称

B．任意的实数a，b，函数恒有两个极值点

C．设为的极值点，则

D．当时，若（其中），则

11．设为数列的前n项的积，，则（???）

A．当时， B．若，则

C．若，则为常数列 D．若数列为等差数列，则或

三、填空题

12．已知随机变量X服从正态分布，若，则.

13．已知，则的最小值为.

14．已知函数的定义域为为的导数，，当时，，若，则关于的不等式在区间上的解集为.

四、解答题

15．如图，在四棱锥中，平面为AD的中点．

(1)证明：平面平面PAC；

(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值．

16．已知函数．

(1)若曲线在点处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；

(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围．

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)证明：；

(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．

18．为庆祝“五一”国际劳动节，某校举办“五一”文艺汇演活动，本次汇演共有40个参赛节目，经现场评委评分，分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到如下频率分布直方图：

(1)估计所有参赛节目评分的第85百分位数（保留1位小数）；

(2)若评分结束后只对所有评分在区间的节目进行评奖（每个节目都能获奖，只有一等奖和二等奖），其中每个节目获评为一等奖的概率为，获评为二等奖的概率为，每个节目的评奖结果相互独立．

（ⅰ）设参评节目中恰有2个一等奖的概率为，求的极大值点；

（ⅱ）以（ⅰ）中作为p的值，若对这部分评奖节目进行奖励，已知一等奖节目奖金为500元，若要使得总奖金期望不超过1400元，请估计二等奖奖金的最大值．

19．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为．

（ⅰ）证明：当时，；

（ⅱ）设的面积为，证明：．

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《福建省2025届高三下学期2月测评（金科百校联考）数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

B

B

D

A

C

AD

ABD

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】先求出集合B，再利用集合的交运算即可求得结果.

【详解】易知，所以，

故选：A．

2．B

【分析】利用复数除法法则得到，利用模长公式求出答案.

【详解】，所以.

故选：B．

3．C

【分析】先对等式两边平方得到，进而求出结果.

【详解】两边平方可得，，

所以，故，

故选：C．

4．B

【分析】利用椭圆里的近日点和远日点列式即可求得结果.

【详解】设椭圆长轴为2a，焦距为2c，易知，解得