现代控制理论(第二章).pptVIP

则(8)4.若(9)1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4的计算编程，用计算机算，最终能得到收敛解。但很难得到解析解。例2-13.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的幂次项，即（11）（3）的计算公式A的特征值互异时，则证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）上式对求解，即得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。再对求异数，有：上式对，求异数，有：重复以上步骤，最后有：2）用标准型法求解特征值互异，转化成对角标准型，且A为友矩阵特征值：例2-1，2-2，2-4：求以下矩阵A的状态转移矩阵[解]：1）直接算法（略）例2-6，利用凯莱-哈密顿定理—----------------自学！例2-3与例2-7也请注意自学！3）用拉氏变换法求解2.3线性定常系统非齐次方程的解现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当时3.斜坡响应即当时（6）（7）（8）例2-8要求掌握！例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法一：积分法例2-8：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。解法二：拉氏变换法2.4*线性时变系统的解2.4.1时变系统状态方程解的特点为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统：采用分离变量法，将上式写成：对上式两边积分得：（1）因此（2）或者写成：仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号来表示这个二元函数：（3）于是式(2)可写成：（4）能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程：遗憾的是，只有当满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下：使之有（5）如果