江苏专版2025版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第六节指数与指数函数学案理含解析.docVIP

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第六节指数与指数函数

1．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：

aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

②负分数指数幂：

a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

③0的正分数指数幂等于eq\a\vs4\al(0),0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝eq\a\vs4\al(ars)(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0,1)

当x＞0时，y＞1；

x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；

x＜0时，y＞1

在区间(－∞，＋∞)上是增函数

在区间(－∞，＋∞)上是减函数

[小题体验]

1．函数f(x)＝2ax＋1－1(a＞0，且a≠1)恒过定点________．

答案：(－1,1)

2．已知0.2m＜0.2n，则m______n(填“＞”或“＜”)．

答案：＞

3．计算：(a2·eq\r(5,a3))÷(eq\r(a)·eq\r(10,a9))＝________.

答案：aeq\f(6,5)

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特殊留意区分a＞1或0＜a＜1.

[小题纠偏]

1．化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab))4ab)(a＞0，b＞0)的结果为________．

答案：eq\f(a,b)

2．若函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

答案：(1,2)

eq\a\vs4\al(考点一指数幂的化简与求值)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)

[题组练透]

化简与求值：

(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5；

(2)eq\f(5,6)a·b－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3ab－1))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a·b－3))；

(3)eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a·b－1))·a·b,\r(6,a·b5)).

解：(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))

＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)

＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)

＝eq\f(16,15).

(2)原式＝－eq\f(5,2)ab－3÷(4a·b－3)

＝－eq\f(5,4)ab－3÷(ab)

＝－eq\f(5,4)a·b

＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).

(3)原式＝eq\f(ab·ab,ab)

＝a·b

＝eq\f(1,a).

[谨记通法]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

eq\a\vs4\al(考点二指数函数的图象及应用)eq\a\vs4\al(?重点保分型考点——师生共研?)

[典例引领]

1．(2024·苏州调研)若a＞1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象经过第________象限．

解析：∵a＞1，

∴y＝ax的图象过第一、其次象限，且是单调增函数，经过(0,1)，

f(x)＝ax＋b的图象可看成把y＝ax的图象向下平移－b(－b＞1)个单位得到的，

故函数f(x)＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限．

答案：一、三、四

2．已知f(x)＝|2x－1|.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)比较