第01讲 空间向量及其运算（解析版）.docx

第1讲空间向量及其运算

考点分析

考点一：空间向量的共线问题

①定义：空间中有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些有向线段构成的向量共线或者平行．

②空间直线的方向向量：在空间直线l上取一个非零向量a，则与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行共线，即对任意向量a，都有0∥a.

③共线向量基本定理：对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b的充要条件是存在非零实数λ使a＝λb.

考点二：空间向量的共面问题

①定义：空间中平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

②空间中共面向量基本定理：若两个非零向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得.

③空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使得，

考点三：空间中向量数量积的运算

①定义：已知两个非零向量a，b，则a，b的数量积为．

规定：零向量与任何向量的数量积均为0.

②由数量积得出的几个常用结论：

1.若非零向量垂直，则，即a⊥b?a·b＝0.

2.，同理

3.

题型目录

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

题型二：共线、共面向量定理的应用

题型三：空间向量的数量积

题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角

题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度

典型例题

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（）

A．若，，则与所在直线平行

B．向量、、共面即它们所在直线共面

C．空间任意两个向量共面

D．若，则存在唯一的实数λ，使

【答案】C

【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可.

【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确；

对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；

对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；

对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确．

故选：C．

【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求.

【详解】

正六棱柱中，

故选：B

【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断.

【详解】如图，

，所以A错误；

，所以B正确；

，所以C错误；

，所以D错误；

故选：B．

【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量

【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，

则

则

故选：D

【题型专练】

1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（???????）

A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若，则?的长度相等且方向相同

C．若向量?满足，且与同向，则

D．若两个非零向量与满足，则.

【答案】D

【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.

【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误；

若，则?的长度相等但方向不确定，B错误；

向量不能比较大小，C错误；

由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确.

故选：D.

2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（????????????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.

【详解】连接

.

故选：A

3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.

【详解】由题意得，.

故选：D

4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______．

【答案】

【详解】正方体中

，则

故答案为：

5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______．

【答案】

【详解】平行六面体中

，则

故答案为：

6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：

(1)的相等向量，的负向量；

(2)用另外两个向量的和或差表示；

(3)用三个或三个以上向