江苏专版2025版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系充分条件与必要条件学案理.docVIP

PAGE

PAGE12

其次节命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念

运用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句

特点

(1)能推断真假；(2)陈述句

分类

真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充分条件与必要条件

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的充分不必要条件

p?q且qp

A是B的真子集

集合与充要条件

p是q的必要不充分条件

pq且q?p

B是A的真子集

p是q的充要条件

p?q

A＝B

p是q的既不充分又不必要条件

pq且qp

A，B互不包含

[小题体验]

1．(2024·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个．

①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；

②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；

③命题“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”；

④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．

答案：3

2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．

答案：充要

3．(2024·南通中学检测)命题“若x2＋y2≤1，则x＋y＜2”的否命题为________________．

答案：若x2＋y2＞1，则x＋y≥2

4．“x≥1”是“x＋eq\f(1,x)≥2”的________条件．

解析：若x＞0，则x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时取等号，明显[1，＋∞)(0，＋∞)，所以x≥1是x＋eq\f(1,x)≥2的充分不必要条件．

答案：充分不必要

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A?B且Beq\a\vs4\al(?/)A)与A的充分不必要条件是B(B?A且AB)两者的不同．

[小题纠偏]

1．(2024·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的________条件．

答案：充分不必要

2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.

解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

eq\a\vs4\al(考点一四种命题相互关系及真假推断)eq\a\vs4\al(?基础送分型考点——自主练透?)

[题组练透]

1．(2024·启东中学期末检测)能够说明“设a，b是随意实数，若a2＜b2，则a＜b”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．

解析：可令a＝1，b＝－2，满意a2＜b2，但a＞b.

答案：1，－2(答案不唯一)

2．(2024·常州一中测试)命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是________________．

解析：命题的条件是p：α＝eq\f(π,4)，结论是q：tanα＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，明显非q：tanα≠1，非p：α≠eq\f(π,4)，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)”．

答案：若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)

3．给出以下四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．(写出全部真命题的序号)

解析：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，明显①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不肯定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．

答案：①③

[谨记通法]

1．推断命题真假的2种方法

(1)干脆推断：推断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

(